8)Сложение колебаний близких частот.

Для двух коллинеарных колебаний x₁=A₁cos(w₁t+a₁) и х₂=A₂cos(w₁t+a₁) с различными частотами, получим х₁ + х₂ º A₁cos(w₁t+a₁) + A₁cos(w₂t+a₂) + (A₂-A₁)cos(w₂t+a₂) .

( В правой части этого тождества мы просто прибавили и затем вычли член A₁cos(w₂t+a₂), которого не было в левой части.) Применяя известное соотношение , получим

Е сли амплитуды складываемых колебаний равны, то последнее слагаемое равно нулю. Рассмотрим вначале именно этот случай. Наиболее важна ситуация, когда _. Тогда w= , а полуразность является очень малой частотой ( <<w). Первый член в правой части можно представить как гармоническое колебание частоты w, амплитуда которого A(t), однако, медленно изменяется. График такого колебания показан на рис. 4.2, а сам процесс называется биениями. Их можно получить, если одновременно заставить звучать два камертона, прикрепив к ножке одного из них кусочек пластилина, тем самым немного меняя его частоту. При этом будет наблюдаться модуляция громкости ("то громче, то тише"). Такой же результат дает плохо настроенное пианино, если три струны, по которым ударяет молоточек, не настроены в унисон. Биения можно увидеть и на осциллографе, слегка меняя частоту одного из генераторов, подключенных ко входу Y. Частота модуляции определяется малой частотой , однако, как видно из рис. 4.2, период биений t определяется не полным периодом модулирующего синуса, а половиной этой величины: t Здесь W = w₁ - w₂ - частота биений. Если складываемые колебания имеют разные амплитуды (A₁ ¹ A₂), то последнее слагаемое в (4.5) отлично от нуля. Оно представляет собой обычное гармоническое колебание.

9)Сложение ортогональных колебаний одинаковых и кратных частот.

С ложение взаимно перпендикулярных колебаний в отличие от предыдущего случая вызывает двумерное движение колеблющейся точки по разнообразным траекториям. Добиться механического сложения колебаний можно, если при помощи некоторого устройства заставить точку подвеса маятника колебаться как вдоль оси Х, так и вдоль оси Y. Для сложения электрических колебаний можно взять два генератора гармонических колебаний, подключить сигнал с одного генератора на вход Х осциллографа, а другого - на вход Y (выключив при этом развертку). Пусть складываемые колебания имеют вид x(t) = A₁ cos(wt + a₁) и y(t) = A₂ cos(wt + a₂). Обозначим wt + a₁= j, тогда = cos j; =cos[j+(a₂-a₁)] = cos jcos(a₂-a₁)-sinj sin(a₂-a₁). Так как то получим

.

Перенося член с cos в левую часть, возводя в квадрат и преобразовывая, получим

- уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник, ограниченный амплитудами A₁ и А₂ колебаний (по X и Y соответственно).

Если (a₂-a₁) = 0, то (4.6) даст y = (A₂/A₁)x - прямая 1-2, а если (a₂-a₁) = ± p, то y = - (A₂/A₁)x - прямая 3-4. Таким образом, точка будет колебаться в пределах прямой, проходящей через начало координат, с результирующей амплитудой Если (a₂-a₁) = ± p/2, то (4.6) сводится К уравнению - эллипс, симметрично ориентированный относительно координатных осей. Возвращаясь к исходным соотношениям для x(t) и y(t), можно показать, что при (a₂-a₁) = + p/2 точка движется вдоль эллипса по часовой стрелке, а при (a₂-a₁)= -p/2 против. При A₁ = A₂ эллипс станет окружностью. Определить, что такое в этом случае амплитуда, затруднительно, поскольку точка движется уже не вдоль прямой, а по плоскости XY.

К огда складываемые ортогональные колебания имеют разные частоты, траектории будут иметь более сложный вид. Пусть x(t) = A₁ cos wt , y(t) = A₁ cos 2 wt. Рассматривая уравнения как систему и исключая wt, получим параболу , изображенную на рис. 4.5. При t = 0 получим x(0) = A₁, y(0) = A₂, и движение по параболе начинается из правой верхней точки. При разности фаз p/2 получится "восьмерка". Фигуры при различных соотношениях частот и разностях фаз сведены в таблицу. Они называются "фигурами Лиссажý".