2.2.Приведение уравнений к каноническому виду Приведение к каноническому виду уравнения гиперболического типа

Для уравнения гиперболического типа имеем две действительные характеристики, определяемые как общие интегралы уравнения (8).

Полагая и , находим, что . После деления на коэффициента при уравнение (5) приводится к виду

Получили первую каноническую форму уравнения гиперболического типа

Часто пользуются второй канонической формой. Положим

,

,

,

Вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

Приведение к каноническому виду уравнения параболического типа

, вторую переменную выбираем произвольно, единственным условием является независимость функций и . Для этого якобиан этих функций по переменной x и y был отличен от нуля:

Поделим на и получим условно каноническое уравнение параболического типа.

Приведение к каноническому виду уравнения эллиптического типа

Для уравнений эллиптического типа характеристики являются комплексными. Положим и . Чтобы не иметь дело с комплексными переменными, введем новые переменные

При этом ;

запишем в виде:

При выводе новых коэффициентов с чертой мы используем не и , а и . По лемме 2 если общий интеграл уравнение

является решением этого уравнения.

Общий вид уравнений эллиптического типа приведенный к каноническому виду будет иметь вид:

И так, мы получили канонический вид для уравнений:

• гиперболического типа

( первая каноническая форма)

(вторая каноническая форма)

• параболического типа

• эллиптического типа

2.3.Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

(1)

Ему соответствует характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами. Поэтому характеристиками будут прямыми линиями

,

С помощью соответствующего преобразования переменных уравнение (1) приводится к одной канонических форм:

(2)

(3)

(4)

Для упрощения вводим новые функции V таким образом, что ,

Где и – неизвестные постоянные.

Дифференцируем уравнение, получаем

Сокращаем на и вводим , и полученные выражения подставляем в (2) – это уравнение эллиптического типа.

Если выбрать , , .

Окончательно уравнение (2) принимает вид:

(5)

Для уравнения параболического типа (4) будет свой набор

,

Окончательно уравнение (4) принимает вид:

(6)

Для уравнений гиперболического типа (3) возьмём вторую форму.

, , .

Окончательно уравнение (3) принимает вид:

(7)

, ,

При помощи линейных преобразований можно свести эту систему одновременно для всех точек области приведенных к каноническому виду.

Замена

Выбираем рациональным образом . Далее можно прийти к более простым формам независимых переменных.

3.Основные уравнения математической физики.

Постановка краевых задач

Уравнение гиперболического типа.

Уравнения с частными производными второго порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессом колебаний (струн, стержней, мембран ит.д.). Ограничимся рассмотрением класса линейных уравнений.

3.1.Уравнение малых поперечных колебаний струны

Рассмотрим натянутую струну, закреплённую на концах. Под струной будем понимать упругую тонкую нить, которая может свободно изгибаться, то есть не оказывать ни какого сопротивления формы, но не изменять длины. Сила натяжения действующая на струну предполагается значительной, так чтобы можно пренебречь силой тяжести (для струны). Пусть струна, длина которой , в положении равновесия направлена по оси х. Рассматривать будем только малые поперечные колебания струны, полагая, что все движение будет происходить в одной плоскости, и все точки струны будут двигаться по оси х.

Функция u(x) описывает отклонение от положения в момент времени t. Будем рассматривать малые колебания. С точки зрения математики это означает что:

(1)

Пользуясь этим условием, определим удлинение, испытываемое участком струны . Длина дуги этого участка равна

(2)

В пределах нашей точности (1), уравнения участков струны в процессе колебаний не происходит. Таки образом, в силу закона Гука следует, что величина натяжения T в каждой точке не меняется со временем. С другой стороны можно показать, что натяжении не зависит и от координаты x , т.е.

Согласно принципу Даламбера сумма действующих в проекции сил равна нулю.

(3)

(4)

Где – это угол касательной к струне.

В силу произвольности и , можно утверждать, что напряжение не зависит от х: .

Для вывода уравнения поперечных колебаний струны воспользуемся вторым законом Ньютона. Импульс участка струны вдоль оси u равен

(5)

Где –линейная плотность струны. Согласно второму закону Ньютона, приравняем изменение импульса элемента струны за время импульсу всех сил, действующих на участок струны вдоль оси u равен. Таким образом, получаем интегральное уравнение

(6)

Найдем импульс всех сил действующие на участки струны. Проекция сил натяжения действует на вертикальную ось:

Сумма проекции сил на вертикальную ось:

Где - время

Проекция сил натяжения:

(7)

Импульс внешних сил, будем считать что эта сила непрерывна распределяется по струне с плотностью . Интегрируем по и , получаем:

(8)

Импульс сил сопротивления:

(9)

k – коэффициент сопротивления.

Выражение (6) приравниваем к выражению (8)+(7)+(9) и получаем:

(10)

интегральное уравнение для малых поперечных волн. Перейдем к дифференциальной форме, для этого должны существовать две непрерывные функции. Применяя теорему о среднем и теорему Лагранжа, из формулы (10) получим:

(11)

Делим на

(12)

Получили уравнение малых поперечных волн в дифференциальной форме или его еще называют волновое уравнение.

Для однородной среды тогда уравнение (12)становится проще:

(13)

Получили уравнение вынужденных малых колебаний.

Где ; ; .

Если пренебречь силой сопротивления, то получим уравнение вынужденных колебаний без учёта сопротивления:

(14)

Без отсутствия внешних сил уравнение (14) примет вид:

(15)

Или

Это простейшее уравнение гиперболического типа. Оно описывает свободные колебания струны.