4.1.Интерпретация решения
Функцию
можно представить в виде:
(18)
(19)
Каждая точка
совершает гармоническое колебание.
Амплитуда колебания зависит от х,
следовательно, для каждой точке
своя
амплитуда колебания, равная:
.
такое движение струны называется стоячей
волной.
,
Точка в которой достигается максимум значения это кучность стоячей волны.
Профиль стоячей волны в любой момент времени:
Где
(20)
В этот момент
времени когда
,
т.е. отклонение достигается максимальной
амплитудой
.
Для малых поперечных волн струны
Энергия n –ой стоячей волны:
Берем формулу частных решений и дифференцируем её:
Энергия n
– ой гармоники зависит от способа
возбуждения колебания. Колебания струны
воспринимается по звуку издаваемой
струной. Докажем, что звук струны является
тоном (простой тон – это какая то
конкретная частота). Общее решение, с
математической точки зрения, это стоячая
волна. Разложение звука на простые тоны
подтверждают эксперимент. Высокая нота
зависит от частоты колебания, сила тона
определяется его энергией, следовательно,
его амплитуды. Самый низкий тон, который
может издавать струна, самая низкая
собственная частота
называется основной тон. Остальные тона
будут кратными
и эти частоты называются обертонами.
Тембр звука – зависит от присутствия
наряду с основным тоном и как распределение
энергии по этим гармоникам. Низкий тон
струны и ее тембр зависит от способа
возбуждения колебания, который в свою
очередь зависит от начальных условий:
,
, то тогда низкий
тон не будет
,
тогда нижней частотой будет
,
где
.
Обычно струна издает один и тот же тон. Приведем струну в колебания, оттягивая ее в одну сторону:
Тогда выражение
для коэффициента
будет
иметь вид:
а следовательно коэффициент будет значительно меньше
При
функция синус является знакопеременной.
Колебание струны.
Если начальная функция нечетная относительно середины отрезка, тогда будет нулевым, а нижним тоном будет являться частота
Если в звучащей струне прикоснутся точно в середине, то ее звук резко изменится, и она звучит в октаву своего тона – флажолет.
4.2.Неоднородные уравнения колебаний
,
(1)
Наличие функции
определяет,
что есть вынужденные колебания,
отсутствие
– свободные колебания.
,
,
(2)
Однородные граничные условия:
,
,
(3)
Фактически это первая краевая задача. Решение будем искать с помощью разложения в ряд Фурье
(4)
Здесь граничные условия выполняются автоматически. Поэтому t рассматривают как параметр.
Найдем
.
Разлагаем
в ряд синуса:
(5)
(6)
(7)
(5), (6), (7) подставляем в (1):
(8)
Так как справа нуль, то все коэффициенты, стоящие в фигурных скобках, равны нулю.
Следовательно, выполняется соотношение:
,
n=1,2…
(9)
Получим систему неоднородных уравнений. Исходя из уравнения (4),получим:
Сравнивая два ряда, мы получаем что
(10)
Данные условия (10) полностью удовлетворяют уравнение решения (9).
(11)
Уравнение (9) будем решать методом вариации постоянных решений однородных уравнений.
- частота
собственных колебаний.
(12)
;
(13)
Будем искать решение (9) в виде уравнение (13). Потребуем чтобы это решение было решением уравнения (9).
Данное уравнение называется условием метода вариации производных.
Подставляем в соответствие с уравнением (9), получаем:
(14)
(15)
Вернемся к формуле
(13) учитывая найденные
.
(16)
Данная формула определяет решение однородного уравнения.
Получили общее решение.