4.3.Общая первая краевая задача

Постановка общей первой краевой задачи для уравнений колебания ставится следующем образом. Найдем решение уравнения (1):

где ,

С дополнительными условиями:

, ,

, , (2)

Сведем исходную задачу к более простой. Будем искать решение в виде

(3)

Тогда уравнение примет вид

Где

С дополнительными условиями

,

,

,

,

Последнее два выражения дают связь между граничными значениями функций и . Если выбрать функцию таки образом, чтобы и , то задача для нахождения функции сведется к уже решенной в предыдущем пункте задаче для неоднородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Легко видеть, что для выполнения и достаточно положить

,

4.4.Общая схема метода разделения переменных

Данная схема применяется не только к колебаниям однородной струны, но и к колебаниям неоднородным колебаниям струны.

(1)

Где ,

, , (2)

, , , , , (3)

Для отыскания решения обратимся к вспомогательной задачи. Найдем нетривиальное решение уравнения (1) удовлетворяющее граничным условиям (2) и представимое в виде

(4)

Подставляем (4) в (1), получаем

(5)

(6)

(7)

Если воспользоваться решением уравнения (4), то получим

Это есть дополнительные условия.

Найдем те значения параметра , при которых существует нетривиальное решение задачи (7). Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответственно им нетривиальное решение – собственными функциями.

Основные свойства:

1.Существует бесконечное множество собственных значения, которые соответствуют нетривиальному решению.

2.Все собственные значения вещественные, а при они положительные.

3.Собственные значения принимают соотношения различных значений ортогональные между собой с весом на отрезке .

(8)

4.Теорема разложения Стеклова

Пусть дана функция F(x) дважды непрерывная дифференцируемая и удовлетворяющая нулевым граничным условиям . Данная функция разлагается в равномерный и абсолютно сходящийся ряд.

(9)

Свойства (1) и (4) основаны на теории интегральных уравнений. Остановимся на доказательстве свойств (2) и (3). Для этого выберем формулу Грина. Пусть есть и произвольные и дважды дифференцируемые на отрезке .

(10)

Докажем (3) свойство.

Пусть и две собственных функций собственных значений и .

Учитывая граничные условия

,

Воспользуемся соотношением

Получим:

За счет граничных условий правая часть в формуле Грина обратится в ноль. Таким образом доказали формулу (8), т.е. получили:

(11)

Это доказательство того что каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция. Функции, которые отличаются друг от друга на множитель, мы различать не будем. В силу линейности и однородности уравнения (7) и граничными условиями ясно следующее, если является собственной функцией отвечающей собственных значений , то и функция , где - произвольная константа. Чтобы избежать неопределенности в выборе множителя подчиним условию нормировки:

Если не удовлетворяет условию нормировке, тогда домножаем ее на число и уже требуем выполнения условия

Если подчинить задачу (7) условию нормировки, то тогда общее соотношение будет записано в виде:

Это условие ортогональности.

Докажем свойство (2).

Пусть собственные значения являются комплексными: , ему будет соответствовать следовательно, функция является комплексной. Из граничных условий следует, что , . Подставим собственные значения и собственную функцию в (7), получим:

Возьмем комплексное сопряжение

Собственные значения разные, следовательно, функции разные. Это значит, что интеграл равен нулю.

Пусть

Числа

Запишем разложение в ряд

Все что мы делали, касалось функции . Теперь рассмотрим для Функции .

и неизвестны.

Вспомогательная задача имеет решение в виде:

Просуммируем и получим общее решение

Не следует считать, что общая схема применяется для первой и второй краевой задачи. Общую схему можно применить и для третий краевой задачи, которая является обобщением первой и второй краевых задач.

Третья краевая задача.

Найдем решение уравнения

, (1)

- функции непрерывны на промежутке

Начальные условия:

, (2)

Граничные условия:

(3)

Соотношения между ними

Зададим решение методом разделения переменных. Следовательно, будем искать решение в виде произведений, и данное решение подставим в уравнение (1).

(4)

Из уравнения (4), если , мы получим первую краевую задачу. При получим вторую краевую задачу, треть краевая задача является линейной комбинацией.

Используя значение функций и собственные значения можно преступить к решению неоднородного уравнения в случае однородных граничных условий третий краевой задачи.