§3.7. Распределение Фишера
Если
и
две независимые случайные величины,
имеющие распределение Пирсона
соответственно с m
и k
степенями свободы, то случайная величина
(3.16)
имеет распределение, называемое распределением Фишера или F-распределением с m и k степенями свободы. Распределение Фишера характеризуется двумя параметрами – степенями свободы m и k.
Плотность распределения Фишера при х<0 равна нулю, а при х>0:
, (3.17)
где
– нормировочный множитель, Г(z)
– гамма-функция Эйлера. Интегральная
функция распределения Фишера
вычисляется
по стандартной формуле (3.4) с плотностью
(3.17). Ее значения могут быть найдены в
специальных таблицах или вычислены на
компьютере (например, в Excel).
Установлено
(Д. Снедекор), что величина, равная
отношению исправленных дисперсий двух
выборок из одной нормальной генеральной
совокупности
подчиняется закону распределения Фишера
(3.17). Всегда берется отношение большей
дисперсии к меньшей (
>
),
чтобы F>1.
Степени свободы распределения Фишера
равны m=nх-1
и k=nу-1,
где nх
и nу
– объемы выборок, причем, дисперсия
первой выборки должна быть больше.
Величина F
зависит только от исправленных дисперсий
и не зависит от генеральных параметров,
а ее распределение – только от чисел
степеней свободы, причем при большом
числе наблюдений его плотность стремится
к плотности стандартного нормального
распределения (3.6).
В
Excel
имеется функция FPACП,
вычисляющая вероятность
,
где
– случайная величина (3.16), х
– переменная.
Аргументы у этой функции следующие:
FPACП(x;
m;
k),
где х
– переменная, m
и k
– степени свободы распределения Фишера.
Интегральная функция распределения
Фишера, определяемая по формуле (3.4) с
плотностью (3.17) может быть вычислена в
Excel
по формуле: =1–FPACП(x;
m;
k).
Критическую
точку распределения Фишера для заданного
уровня значимости
и степеней свободы m
и k
можно вычислить с помощью функции
FPACПОБР(;
m;
k).
Эта функция находит критическую точку
из соотношения
,
где
– случайная величина (3.16). Вычисление
критических точек распределения Фишера
необходимо для проверки статистических
гипотез, о которых более подробно будет
изложено в гл. 5.
Замечание: при использовании FPACПОБР(; m; k) следует помнить, что второй аргумент m – число степеней свободы для той выборки, дисперсия которой больше. Такие критические точки содержатся в обычных таблицах статистических функций.
§3.8. Гипергеометрическое распределение
Пусть известно, что в генеральной совокупности объема N содержится М элементов с заданным признаком. Из этой генеральной совокупности производится выборка из n элементов. Тогда вероятность того, что среди отобранных n элементов ровно m будут иметь указанный признак, вычисляется по формуле
. (3.18)
Вероятность, вычисляемая по формуле (3.18) называется гипергеометрической.
Пусть X дискретная случайная величина, равная числу элементов с заданным признаком в выборке объема n из генеральной совокупности объема N, содержащей М элементов с заданным признаком. Тогда закон распределения дискретной случайной величины X, возможные значения которой m=0, 1, 2,…, min(M, n), а вероятности вычисляются по формуле (3.18), называется гипергеометрическим распределением.
Гипергеометрическая вероятность (3.18) вычисляется в Excel с помощью функции ГИПЕРГЕОМЕТ(m; n; M; N), где m – число элементов с заданным признаком в выборке, n – объем выборки, M – число элементов с заданным признаком в генеральной совокупности, N – объем генеральной совокупности.