§3.9. Другие статистический распределения
Помимо рассмотренных выше статистических распределений существует ряд менее используемых распределений.
Экспоненциальное распределение.
Экспоненциальным (или показательным) называется непрерывное распределение вероятностей, плотность которого определяется по формуле:
, (3.19)
для х>0 и f(x)=0 для x<0, а число называется параметром экспоненциального распределения. По формуле (3.4) легко найти интегральную функцию экспоненциального распределения:
, (3.20)
для х>0 и F(x)=0 для х<0.
Для экспоненциального распределения среднее значение случайной величины равно ее стандартному отклонению и равно 1/ .
В Excel экспоненциальное распределение вычисляется функцией ЭКСПРАСП(х; ; тип), где тип={ложь, истина}. Если указать ложь, то будет вычислена плотность экспоненциального распределения по формуле (3.19), а если указать вместо тип – истина, то будет вычислена интегральная функция (3.20).
Распределение Вейбулла.
Распределением Вейбулла называется непрерывное распределение вероятностей, плотность которого определяется формулой:
, (3.21)
где и параметры распределения Вейбулла. По формуле (3.4), используя (3.21), можно найти интегральную функцию распределения Вейбулла:
. (3.22)
Если =1 и =1/, то распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным, т.е. (3.21) совпадает с (3.19), а (3.22) – с (3.20).
В Excel распределение Вейбулла вычисляется функцией ВЕЙБУЛЛ(х; ; ; тип), где параметр тип определяет, какую функцию вычислять плотность или интегральную функцию. Если в качестве этого параметра указать ложь, то будет вычислена плотность (3.21), а если – истина, то интегральная функция (3.22).
Гамма-распределение.
Гамма-распределением (-распределением) называется распределение непрерывной случайной величины, плотность которого определяется формулой:
, (3.23)
где
,
параметры -распределения,
гамма-функция Эйлера.
Если
=1,
то -распределение
называется стандартным. Если
и =1/,
то плотность -распределения
(3.23) совпадает с экспоненциальным (3.19).
Если
=k/2,
где k
целое положительное число,
,
то -распределение
(3.23) совпадает с распределением Пирсона
(3.13) с k
степенями свободы.
В Excel -распределение вычисляется функцией ГАММАРАСП(х; х; ; ; тип), где параметр тип такой же, как и для предыдущих функций: если тип=истина, то вычисляется интегральная функция -распределения, а если тип=ложь, то вычисляется плотность (3.23).
В Excel можно вычислить обратную и интегральную функции -распределения функции ГАММАОБР(p; ; ), где p вероятность, для которой следует найти аргумент х интегральной функции -распределения.
В формулу (3.23) входит гамма-функция Эйлера, определяемая равенством:
. (3.24)
В Excel имеется функция ГАММАНЛОГ(), вычисляющая ln(()). С помощью этой функции можно вычислить непосредственно гамма-функцию (3.24) по формуле: =EXP(ГАММАНЛОГ()).
Практические задания
3.1. Графики функции нормального распределения
Построить на одном рисунке графики функции нормального распределения для =3 и различных значений а: 2; 0; 2; 5. На другом рисунке построить графики функции нормального распределения для а=2 и различных значений : 1; 3; 4,6.
Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.
Сначала постройте графики F(x) нормального распределения для фиксированного и различных а. Это позволит увидеть изменение формы кривой с изменением среднего значения.
В ячейку А1 наберите: 10. Выделите эту ячейку и выполните команду ПравкаЗаполнитьПрогрессия.
В появившемся диалоговом окне Прогрессия установите:
в поле Шаг: 0,5;
в поле Предельное значение: 10;
в группе Расположение активизируйте переключатель по столбцам и нажмите ОК.
В результате интервал ячеек А1:А41 будет заполнен числами от –10 до 10 с шагом 0,5. Эти числа будут значениями переменной х, для которой будем вычислять F(x).
В ячейку В1 поместите значение функции нормального распределения для числа, содержащегося в А1, и а=2, =3. Для этого в В1 следует набрать формулу: =НОРМРАСП(А1; 2; 3; истина). Далее в ячейку С1 наберите формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 3; истина); в ячейку D1 – формулу: =НОРМРАСП(А1; 2; 3; истина); в ячейку Е1 формулу: =НОРМРАСП(А1; 5; 3; истина).
Заполнить все ячейки этими формулами по столбцам проще всего с помощью таблицы подстановки. Для этого выделите диапазон А1:Е41 и выполните команду ДанныеТаблица подстановки. В появившемся диалоговом окне Таблица подстановки поместите курсор в поле Подставлять значения по строкам в, а затем щелкните мышью по ячейке А1 и нажмите ОК. В результате получится таблица, содержащая для каждого х значение F(x) при =3 и а=2 (в столбце В); а=0 (в столбце С); а=2 (в столбце D) и а=5 (в столбце Е).
Сразу, не снимая выделения с таблицами, вызовите Мастер диаграмм и выберите в нем Тип: Точечная и Вид: точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров и нажмите Готово.
Самостоятельно отредактируйте полученную диаграмму и приведите ее к следующему виду:
Из этого рисунка видно, что с увеличением среднего значения а и фиксированном стандартном отклонении кривая интегральной функции распределения перемещается параллельным переносом слева направо (без деформации формы).
Теперь постройте графики интегральной функции распределения для фиксированного а=0 и различных , указанных в задании.
Перейдите на другой рабочий лист и с помощью автозаполнения, точно также, как и в п.2-3, заполните столбец А значениями х.
В ячейку В1 наберите формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 1,5; истина); в С1 формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 3; истина); в D1 – формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 4,5; истина).
Повторите процедуру п.5-6 для использования таблиц подстановки и построение диаграммы.
Полученную диаграмму приведите к виду:
Из этого рисунка видно, что кривая интегральной функции распределения при фиксированном среднем значении а и с увеличением стандартного отклонения деформируется, растягиваясь симметрично относительно центральной точки с координатами (0; 0,5).