- •Поняття множини. Рівність множин.
- •Операції над множинами.
- •Означення функції. Види відображень.
- •4. Складена фунція. Обернена функція
- •5. Параметричне та неявне відображення.
- •6. Аксіоми множин дійсних чисел
- •7. Розширення множини дійсних чисел
- •8. Основні характеристики дійсного числа.
- •9. Обмежені та необмежені числові множини.
- •10. Верхня та нижня межа множини.
- •11. Принцип Архімеда.
- •12. Принцип вкладених відрізків
- •13. Еквівалентність множин та поняття потужності
- •14. Зчисленна потужність
- •15. Континуальна потужність
- •16. Поняття границі числової послідовності. Збіжні та нескінченно великі послідовності.
- •17. Поняття нескінченно малої послідовності. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
- •18. Єдиність границі послідовності.
- •19. Перехід до границі послідовності у нерівностях.
- •20. Обмеженість збіжної послідовності
- •21. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •22. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.
- •23.Тоереми про границю суми, добутку, віднош чп.
- •24. Перша і друга чудові границі.
- •25. Число як границя збіжної монотонної послідовності.
- •26. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.
- •27. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •28. Озн.Гейне:
- •30. Нескінченно малі функції.
- •31. Властивості границь функцій.
- •32. Односторонні границі функції в точці.
- •33. Порівняння функцій в околі заданої точки. Символи Ландау.
- •34. Еквівалентні функції.
- •35. Критерій Коші існування границі функції.
- •36. Границі монотонних функцій.
- •37. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.
- •38.Різні форми запису неперервності функції в точці.
- •39. Неперервність оберненої функції.
- •40. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію
- •41. Теорема Больцано-Коші.
38.Різні форми запису неперервності функції в точці.
Озн. F(x) непер в т. х0 є Х ↔ ))=0.
Позначимо: х-х0 – приріст аргумента.
∆у= )= ) – приріст ф-ції в т. хо.
непер в т. хо є Х ↔ =0.
Лема 1: Якщо є R та х0 є Х то непер в т. хо↔а= ).
Лема2:Якщо х0єХ та f(x0) → непер в т.хо
Озн.: Точка хо наз ізольованою точною мн. Х, якщо О(хо) такий, що
Х О(хо)= {x}- перетин скл лише з однієї точки хо
Озн.: Точка хо наз граничною точкою мн. Х, якщо б-я окіл т. хо містить точки Х відмінні від хо.
хо –точка дотикання Х, якщо хо є ізольованою або граничною точкою Х.
Лема3: Б-я ф-ція неперервна в кожній ізольованій точці мн-ни свого виз-ня.
Дослідження ф-цій на непер досить проводити лише в граничн точ-х Х.
Озн. Точка хо наз точкою розриву ф-ції f(x) якщо хо Х або ф-ція не є неперервн в цій точці.
39. Неперервність оберненої функції.
Лема1:Якщо на , , то є однозначною, на .
Теор:Якщо і неперервна на [a,b], , то та - однозначна, , неперервна на [A,B].
Дов:Доведемо, що .
(за теор. Больцана-Кощі)
За Лемою1 досить довести неперервність
, тоді
Доведемо від супротивного:
Нехай , зовні якого міститься нескінчена кількість членів послідовності {xn}
Виділимо підпослідовність, яка буде збіжною:
Тобто, ми отримали суперечність.
Теор:Якщо і неперервна на (a,b) та , то та є однозначною, та неперервною на (A,B).
Заув:a,b і A,B можуть бути як скінченими, так і нескінченими.
40. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію
Функція називається неперервною на множині якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини
Теорема Вейєрштраса: Будь яка неперервна на відрізку функція обмежена і досягає на ньому своєї верхньої та нижньої межі
Довед:
доведемо що
,
Оберемо довільну послідовність
,
: .
Зауважимо, що →{xn} обмежена→ -підпослідовність {xn} така, що →х0, k , .
Для викон. <f( , k
За лемою про 2 міліціонерів:
=
41. Теорема Больцано-Коші.
Нехай ф-я f(х) непер на відрізку [а,b]. Познач f(а) = А, f(b) = В, → С проміжного між А і В [a,b], таке, що f(ξ)=С.
Доведення: для визначеності вважаємо, що А <В. С: А<С<В. Розіб’ємо відрізок [а,b] навпіл. Якщо f =С,то ξ= .Якщо зн-ня ф-ції всередині f <С, то позначимо [a1,b1]=[ ,b]. f >С, [a1,b1]=[ ]
b1-a1= . f(a1)<C<f(b1).
Продовжуємо процес розбиття. На n-му кроці або одержимо, що всередині відрізка ф-ція набуває зн-ня С і точка знайдена або одержимо відрізок [an,bn] [an-1,bn-1] [a,b].
bn-an= →0 I n→ .
f(an)<C<f(bn).→f(ξ)≤C≤f(ξ)
Маємо с-му вкладених стяжних відрізків, тому існує єдина точка ξ, що є перерізом всіх відрізків і така, що ξ= =
f(ξ).
Наслідок. f(ξ)=С. дов.
Якщо ф-ція неперервна на відрізку і на його кінція набуває зн-ня різного знаку, то на цьому відрізку існує принаймні одна точка, в якій ф-ція обертається в 0.