4. Складена фунція. Обернена функція

озн. f: X->Y, g:Y->Z

Ф-ція F:X->Z та кожному знач хєХ ставить у відповід. єдине z=F(x)=def=g(f(x)) наз-ся суперпозицією (ккомпозиц., складен. Ф-цією) ф-цій g i f;

Позн. F(x)=(g₀f)(x), F(x)=g(f(x))

Озн. нехай відображ. f: X->Y бієкція

Тоді можна ввести обернену ф-цію f^-1:Y->X і задаватися таким способом:

Для б-я уєУ існує єдине хєХ таке, що х=f^-1(y)

f,f^-1 взаємообернені.

f(f^-1(y))=y для б.-якого уєУ

f^-1(f(x))=x для б.-якого хєХ

Зауваження: 1)якщо ін»єкція, то будуть f^-1:Y_f -> X

2)якщо сюр»єкція, то у може відповід декілька х. одержану многозначну ф-ю замінять на суку однозначних.

5. Параметричне та неявне відображення.

Нехай задане відображення φ:Т->X; ψ:T->Y, принаймні одне з них – бієкція. Нехай φ-бієкція.

φ^-1:X->T. Утв. Суперпоз. Ф-цій. ψ₀φ^-1:X->Y. таким чином задана ф-ція наз-ся ф-цією заданою параметрично. Т-множ. Параметрів tєТ (t-параметр)

Нехай задано відображ F:X×Y->Z та рівняння F(x,y)=c, cєZ. Якщо кожному знач. Будь-якого хєХ відповідає єдине знач. уєУ таке що вик. F(x,y)=c, cєZ то кажуть що задана неявна ф-ція у=f(x), що задов.. F(x,f(x))=c, cєZ

6. Аксіоми множин дійсних чисел

Означення: підмножиною дійсних чисел R розуміють множину, що складається більше, ніж з одного елемента та задовольняє аксіомам I-V. Елементи цієї множини називаються дійсними числами

1. Аксіоми додавання:

R визначено єдине число, яке назив їх сумою і познач a+b) R

так, що при цьому виконується:

I_1. a+b = b+a

Ι₂. (a+b)+c = a+(b+c)

I₃. 0 R таке, що а+0=а

Ι_4. а R (-а), яке назив протилежним таке, що а+(-а)=0.

Висновок: а,b R , можна визначити (а- b) R : а- b= а+(- b)

ΙI. Аксіоми множення:

R визначено єдине число, що називається добутком цих чисел і позн. (аb) R так , що виконується:

II_1. ab = ba

II₂. (ab)с = a(bс)

II₃. 1 R таке, що а*1=а аєR

II₄. а R, а 0, ( ) R таке , що а* =1

Висновок: а,b R, b 0, можна ввести операц ділен а:b= а* =

ΙΙΙ. Аксіома зв’язку операцій додавання і множення

а,b,с R (а+b)с= ас + bс дистрибутивність

4. Аксіоми впорядкування

а,b R, а і b-різні, виконується а>b aбо а< b такі, що виконується:

ΙV₁. а< b b< с а<с – транзитивність

ΙV₂. а< b, с R а+с< b+с

ΙV₃. а< b с>0 ас< bс

Зауваження:

Впорядкованість а b означає, що (а< b) ( а= b)- вик ΙV₁ – ΙV₃ власт. Крім того має місце а а –рефлексивність і а b b а,то а= b– антисиметричн

4. Аксіома неперервності: двох не порожніх числ множин X,Y R таких, що x X, y Y x y існує с R таке, що x с y

Зауваження: 1)з аксіом ΙV₂ і ΙV₃ випливає властивість цільності множини R: для будь-яких різних а,b R , а< b існує с R таке, що а< с < b

доведення: а< b →a+a<b+a→2a<b+a→a+b<2b

→ 2а< а+b<2b

а< <b , де = с

2) якщо R={0}, то аксіоми будуть задовольн, але ми не будемо мати множину дійсних чисел.