- •Поняття множини. Рівність множин.
- •Операції над множинами.
- •Означення функції. Види відображень.
- •4. Складена фунція. Обернена функція
- •5. Параметричне та неявне відображення.
- •6. Аксіоми множин дійсних чисел
- •7. Розширення множини дійсних чисел
- •8. Основні характеристики дійсного числа.
- •9. Обмежені та необмежені числові множини.
- •10. Верхня та нижня межа множини.
- •11. Принцип Архімеда.
- •12. Принцип вкладених відрізків
- •13. Еквівалентність множин та поняття потужності
- •14. Зчисленна потужність
- •15. Континуальна потужність
- •16. Поняття границі числової послідовності. Збіжні та нескінченно великі послідовності.
- •17. Поняття нескінченно малої послідовності. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
- •18. Єдиність границі послідовності.
- •19. Перехід до границі послідовності у нерівностях.
- •20. Обмеженість збіжної послідовності
- •21. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •22. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.
- •23.Тоереми про границю суми, добутку, віднош чп.
- •24. Перша і друга чудові границі.
- •25. Число як границя збіжної монотонної послідовності.
- •26. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.
- •27. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •28. Озн.Гейне:
- •30. Нескінченно малі функції.
- •31. Властивості границь функцій.
- •32. Односторонні границі функції в точці.
- •33. Порівняння функцій в околі заданої точки. Символи Ландау.
- •34. Еквівалентні функції.
- •35. Критерій Коші існування границі функції.
- •36. Границі монотонних функцій.
- •37. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.
- •38.Різні форми запису неперервності функції в точці.
- •39. Неперервність оберненої функції.
- •40. Теорема Вейєрштраса про неперервну на відрізку функцію
- •41. Теорема Больцано-Коші.
24. Перша і друга чудові границі.
Т
В
С
Д
О
А
tgx
x>0 0<x<π/2
SтрикAOC<SсектораАОС<SтрикAOB; 1/2R2sinx<1/2R2x<1/2R2tgx => sinx<x<tgx
Поділимо на sinx:
sinx/sinx<x/sinx<tgx/sinx
1<x/sinx<1/cosx Заув: x/sinx i 1/cosx– парні ф-ї,нерівн правил для ІVчв
cosx<sinx/x<1 Заув: - в силу неперервн косинуса
–лема про 2-х міліц(х→0=>cosx→1)
Наслідки:
Теор2:
Наслідки:
25. Число як границя збіжної монотонної послідовності.
26. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.
Послідов назив фун якщо
Права частина означення називається умовою Коші.
І нша форма умови Коші:
Лема 1 Якщо послідовність збіжна, то вона фундаментальна.
Доведення: Нехай
, - фундаментальна за означенням
Лема 2 Якщо послідовність фундаментальна, то вона обмежена
Доведення : В умові Коші покладемо
Виберемо , тоді
Оберемо . Отже,
,
Лема 3: Якщо деяка підпослід фунд послід збіжна, то її границя є границею усієї числової послідовності.
Доведення: Нехай - фундаментальна.
За умовою Коші
Оберемо так, щоб виконувалось
Перейдемо до границі, коли Критерій КошіДля того,щоб посл мала скінч lim необх ідост,щобвона була фунд.
- Фундаментальна
Доведення: Необхідність доведена в лемі 1. Доведемо достатність. - фундаментальна - обмежена Критерій коші дає необх і дост умову збіжності послідовності в термінах тільки самих членів послідовності без використання значення границі.
Теорема Штольца Нехай послідовність і нескінченно велика. Нехай послідовність має границю, тоді послідовність теж має границю, та
27. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
Критерій Коші. Для того, щоб послідовність мала скінчену границю, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальна.
Lim Xn=a, aєR => {Xn}фундаментальна.
n→∞
Дов.(для цього попередньо доведемо три леми) попереднє питання!!!
Леми доведено,тепер на основі цього доведемо Критерій Коші.
Дов. Необхідність випливає із ЛЕМИ 1
Достатність: {Xn}фундаментальна => за ЛЕМОЮ 2{Xn} обмежена => за теоремою Больцана-Вейерштрасса {Xnk}→a, aєR => за ЛЕМОЮ 3 lim Xn=a
k→∞ n→∞
Що вимагалося довести.
Зауваження.
Критерій Коші дає необхідну і достатню умову збіжності послідовностей ,в термінах тільки самих членів послідовності без використання значення границі.
28. Озн.Гейне:
Нехай розгляд ф-я
Озн1(За Гейне): Точка наз. границею ф-ії f(x) при , якщо для будь-якої послідовності точок множини Х такої, що .
такої, що : . .
Заув!Озн1 має зміст лише тоді, коли точок з Х, що .
Якщо аєR, то кажуть, що ф-я має скінченну границю.
Точка дотикання: Озн2: Точка наз. точкою дотикання множини Х, якщо існує послідовність точок та .
Заув! Якщо , то є точкою дотикання Х. Точка дотикання може належати чи не належати множині. Якщо Х необмежена зверху(знизу), то точкою дотикання є .
Теор: Точка є точкою дотикання Х тоді і тільки тоді, коли в будь-якому околі точки знайдуться точки множини Х.
Довед: : . . Розглянемо послідовність околів . , яка належить , тоді розглянемо утв. нами посл-ть , бо . Отже, за озн.1 побудована нами
29. Озн.Коші:
Озн1: Функція f(x) має границею число коли , якщо для такий, що .
Позн1: ;
.
Теор: Озн-ня за Гейне і Коші границі функції в точці дотикання множини визначення фун-ії рівносильні.
Довед: (за Гейне) (за Коші).
Від супротивного:
1)Нехай Утворимо послідовність околів т. ; ; . – суперечність
2) Нехай - точка дотикання ; ; .
Озн: Ф-я f(x) наз. неперервною в т. , якщо
Заув! f(x)-неперервна в т. тоді і тільки тоді, коли . Дійсно, якщо взяти послідовність виконується .