- •Введение в математическую экономику
- •1. Предмет и задачи математической экономики
- •2. Математическое моделирование экономических систем
- •3. Примеры экономических задач оптимизации и управления
- •4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления
- •5. Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях
- •Тема 1. Элементы финансовой математики
- •1.1. Сущность финансовой математики
- •1.2. Основные категории, используемые в финансово–экономических расчетах
- •1.3. Фактор времени в финансово–экономических расчетах
- •1.4. Наращение
- •1.5. Дисконтирование
- •1.6. Номинальная и эффективная ставка
- •1.7. Эквивалентность процентных ставок
- •1.8. Сущность инфляции
- •1.9. Учет инфляции при расчете наращивания
- •1.10. Кредитные расчеты. Равные процентные выплаты
- •1.11. Погашение долга равными суммами
- •1.12. Равные срочные выплаты
- •1.13. Потребительский кредит
- •Тема 2. Оценка инвестиционных процессов
- •2.1. Особенности инвестиционных процессов
- •2.2. Чистый приведенный доход
- •2.3. Срок окупаемости
- •2.4. Внутренняя норма доходности
- •2.5. Построение оптимального портфеля
- •2.6. Моделирование финансовых рисков
- •2.7. Принципы определения цены
- •2.8. Простейший и классический процессы риска
- •Тема 3. Основы актуарной математики
- •3.1. Предмет актуарной математики
- •3.2. Использование решающего правила Байеса
- •3.3. Задача о разорении. Вероятность разорения
- •3.4. Сложные пуассоновские процессы
- •3.5. Неравенство Лундберга
- •3.6. Определение вероятности окончательного разорения в экспоненциальном случае
- •3.7. Влияние перестрахования на вероятность разорения. Задача о разорении и перестрахование
- •Тема 4. Задачи оптимизации и управления в экономике
- •4.1. Основные понятия исследования операций
- •4.2. Классификация задач исследования операций
- •4.3. Построение экономико-математической модели
- •4.4. Линейное программирование
- •4.5. Геометрический метод решения задачи линейного программирования
- •4.6. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •4.7. Транспортная задача линейного программирования
- •4.8. Задача коммивояжера и метод ветвей и границ
- •2) Построение нижних и верхних оценок минимального значения целевой функции.
- •3) Отсеивание вариантов.
- •4.9. Нелинейное программирование. Метод множителей Лагранжа
- •4.10. Задача выпуклого программирования
- •4.11. Понятие о параметрическом и стохастическом программировании
- •4.12. Общая постановка задачи динамического программирования
- •4.13. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана
- •4.14. Задача о распределении средств между предприятиями
- •4.15. Общая схема применения метода дп. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет
- •Тема 5. Математические модели экономических процессов
- •5.1. Линейные модели экономики
- •5.2. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»
- •5.3. Планирование производства в динамике (модель Неймана «расширяющейся» экономики)
- •5.4. Математическая теория потребления. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров
- •5.5. Функция полезности как критерий оценки товаров
- •5.6. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления
- •5.7. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Уравнение Слуцкого
- •5.8. Математическая теория конкурентного равновесия
- •5.9. Рыночный спрос и рыночное предложение. Условия совершенной конкуренции. Модель Вальраса
4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления
Любая задача по принятию решений характеризуется наличием некоторого количества лиц, которые имеют определенные возможности и преследуют определенные цели. Поэтому чтобы построить модель принятия решений необходимо ответить на вопросы:
кто принимает решения;
каковы цели принятия решения;
в чем состоит принятие решения;
определить круг вариантов;
при каких условиях принимается решение.
Для того чтобы построить модель, нужно ввести некоторые обозначения.
N – это множество всех сторон, принимающих решение. N=(1; n), т.е. имеется n участников. Каждый участник называется лицом, принимающим решение (физическое лицо, юридическое лицо).
Допустим, множество всех допустимых решений предварительно изучено и описано в виде неравенства (математически).
Если обозначить через х1, х2,…,хn представленные альтернативы, то процесс принятия решения сводится к следующему: каждое лицо выбирает конкретный элемент из всего множества решений, т. е. .
В результате набор х1, х2,…,хn можно назвать определенной ситуацией.
Для оценки вектора с точки зрения преследуемых целей строится функция , которая называется целевой функцией, которая ставит в соответствие каждой ситуации числовые значения (оценки) . Например, доходы фирм в ситуации либо затраты тех же фирм в данной ситуации.
Исходя из вышесказанного, цель i-ого лица, принимающего решение можно сформулировать так: выбрать такое , чтобы в ситуации х число будет либо максимальным, либо минимальным.
Однако влияние на данную ситуацию других сторон усложняет процесс, т.е. происходит пересечение интересов отдельных лиц. Возникает конфликтность, которая выражается в том, что функция помимо хi зависит еще и от xj, . Поэтому в моделях принятия решений с несколькими участниками их цели приходится формализовать иначе, чем максимизация (минимизация) значений функции .
Таким образом, общая схема задачи по принятию решений может быть сформулирована следующим образом:
(*)
- это совокупность всех характеристик (условий), при которых приходится принимать решение.
Если в формуле (*) N состоит только из одного элемента, а все условия и предпосылки исходной реальной задачи можно описать в виде множества допустимых решений, то получаем структуру оптимизационной или экстремальной задачи:
.
Данная схема используется лицом, принимающим решение, как планирующая и с помощью нее можно описать две экстремальные задачи:
или .
Если в данной задаче учитывается фактор времени, то называется задачей оптимального управления.
Если , то (*) можно считать общей схемой задачи принятия решений в условиях конфликта.
Если у лица, принимающего решение, существует несколько целей, то уравнение (*) будет иметь вид . В данном случае функции определены на одном и том же множестве Х. Такие задачи называют задачами многокритериальной оптимизации.
Существуют задачи по принятию решений, которые получили название исходя из своего назначения: системы массового обслуживания, задачи сетевого и календарного планирования, теория надежности и т. д.
Если элементы модели (*) не зависят от времени, т. е. процесс принятия решения является мгновенным, то задача называется статической, в противном случае – динамической.
Если элементы (*) не содержат случайных величин, то задача является детерминированные, в противном случае – стохастические.
Примеры задач:
1. Задача оптимального раскроя
Фирма изготавливает изделия из нескольких деталей (p). Причем в одно изделие эти детали входят в количествах . С этой целью производится раскрой m партий. В i-ой партии имеется bi единиц материала. Каждую единицу материала можно раскроить n способами. При этом получается aijn количество деталей. Требуется составить план раскроя, чтобы получить максимальное число изделий.
2. Транспортная задача
Имеется n поставщиков и m потребителей одного и того же продукта. Известен выпуск продукции у каждого поставщика и потребности в ней каждого потребителя, а также затраты на перевозки продукции от поставщика к потребителю. Требуется построить план перевозок с минимальными транспортными расходами с учетом пожеланий поставщиков и спроса потребителей.
3. Задача о назначении на работу
Имеется n работ и n исполнителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем j равна cij. Нужно распределить исполнителей на работы, чтобы минимизировать оплату труда.
4. Задача о распределении вложений
Имеется n проектов. Причем для j-ого проекта известен ожидаемый эффект от реализации d и необходимая величина капиталовложений gj. Общий объем капиталовложений нее может превышать заданной величины b. Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.
5. Задача о размещении производства
Планируется выпуск m видов продукции, которые могут производиться на n предприятиях. Издержки производства, сбыта единицы продукции, плановый объем годового производства и плановая стоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из n предприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить один вид продукции.