Решение типовых задач

Контрольная работа № 1

Задача № 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6).

Найти: 1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3) угол А;

4) уравнение высоты СD и ее длину;

5) уравнение окружности, для которой высота СD является диаметром.

Решение. 1. Расстояние между точками и определяется по формуле:

. (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

. (2)

Подставив в (2) координаты точек:

Для нахождение углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС.

Отсюда .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле:

. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее , .

,

4. Так как высота перпендикулярна стороне , то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид:

. (4)

Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты :

. (5)

Для нахождения длины определим координаты точки , решив систему уравнений (АВ) и ( ):

откуда , то есть .

Подставив в формулу (1) координаты точек С и , находим:

.

5. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

. (6)

Так как является диметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, и . Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности: .

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат изображен треугольник , высота , окружность с центром в точке Е.

Задача № 2.

1) Определить тип заданной кривой и построить её (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису):

x²+4y²=16.

Решение. Для того, чтобы определить тип кривой второго порядка (окружность, эллипс, гипербола или парабола), произведём преобразования заданного уравнения:

Получили каноническое уравнение эллипса:

– полуоси эллипса.

Найдём координаты фокусов: F₁(-c;0) и F₂(c;0), где – половина расстояния между фокусами. Итак, F₁(-3,5;0) и F₂(3,5;0) – фокусы эллипса.

– эксцентриситет эллипса:

Построим эллипс (рис. 2).

y

2

• •

-4 F₁ F₂ 4 х

-2

Рис. 2

2) Определить тип заданной кривой и построить её (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису):

Решение. Преобразуем заданное уравнение:

Получили каноническое уравнение гиперболы:

– полуоси гиперболы.

Найдём координаты её фокусов: F₁(-c;0) и F₂(c;0), где – половина расстояния между фокусами.

Итак,

Тогда F₁(-5,8;0) и F₂(5,8;0) – фокусы гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы:

Построим гиперболу (рис. 3).

y

3

• •

F₁ -5 5 F₂ x

-3

Рис. 3.

3) Определить тип заданной кривой и построить её (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису).

y²=6x+12

Решение. Преобразуем данное уравнение:

Получили уравнение параболы:

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x₀; y₀), т.е. в точке (-2;0).

Для построения параболы её уравнение приведём к простейшему (каноническому) виду. Для этого произведём параллельный перенос системы координат:

Тогда в новой системе координат X′O′Y′, где О′(-2;0) – начало координат, уравнение параболы принимает канонический вид:

Найдём координаты фокуса и уравнение директрисы: – фокус, – уравнение директрисы.

Итак, 2p=6, значит, р=3. Тогда F(1,5; 0) и х= -1,5.

Строим параболу в системе координат X′O′Y′ (рис.4).

y

Y^′

р

O^′ F x(X^′)

Рис.4

Задача № 3. Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3).

Требуется:

1) записать векторы и в системе орт и найти их модули;

2) найти угол между векторами и ;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1) Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:

.

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Аналогично

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

.

Подставляя в формулу найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

,

.

2) Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

.

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

.

Тогда

.

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Подставляя , получим:

– искомое уравнение плоскости.

Задача № 4. Данную систему уравнений решить методом Крамера (с помощью определителей):

Решение. Вычислим определитель системы Δ по правилу «треугольников»:

(a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃+ a₁₂ a₂₃ a₃₁) – ( a₃₁ a₂₂ a₁₃+ a₃₂ a₂₃ a₁₁+ a₂₁ a₁₂ a₃₃).

Итак,

Δ≠0 система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера:

Определители получаем заменой соответствующего столбца определителя Δ столбцом свободных членов системы.

Вычислим определители

Таким образом,

Сделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение данной системы:

– верно.

Ответ: (3;0;-2).

Задача № 5. Вычислить пределы:

а) б) в)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х= -3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель . Такое сокращение возможно, так как множитель отличен от нуля при :

б) При х→∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к ∞.

Тогда получаем неопределённость вида которая раскрывается по следующему правилу: предел отношения двух бесконечно больших функций, являющихся многочленами, равен пределу отношения их слагаемых со старшей степенью переменной.

в) Для раскрытия неопределённости вида , содержащей тригонометрические функции, воспользуемся эквивалентными функциями: