Дифференциальные уравнения

Опр. Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные или дифференциалы различных порядков этой функции, при этом порядок старшей производной или дифференциала называется порядком уравнения.

–

общий вид дифференциального уравнения n-го порядка

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

Общий вид:

Схема решения

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения	Общее решение дифференциального уравнения
D>0, k1≠k2
D=0, k1=k2
D<0, k1,2=α±βi – комплексные числа, i= – мнимая единица.

Ряды

Опр. Рядом называется бесконечная сумма членов некоторой последовательности, общий член которой является функцией номера n.

Ряды

числовые функциональные

Числовые ряды

_{– n-я частичная сумма.}

_{– остаток сходящегося ряда.}

Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Необходимый признак сходимости (достаточный признак расходимости):

Признак Даламбера

Алгебраический признак Коши

Интегральный признак

Пусть f(x) – непрерывная, положительная и убывающая функция при х≥1. Тогда

1-й признак сравнения

2-й признак сравнения (предельный)

Стандартные числовые ряды

Знакочередующиеся числовые ряды

.

Признак Лейбница:

Теорема: Е сли ряд , составленный из абсолютных величин знакочередующегося ряда, сходится, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:

_{– область сходимости степенного ряда.}

_{– радиус сходимости.}

Опр. Разложением функции f(x) в ряд по степеням (х-а) (рядом Тейлора) называется ряд вида:

Опр. Ряд Тейлора при а=0 называется рядом Маклорена.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

Примечание: – факториал.

Теория вероятностей

Комбинаторика

– число перестановок из n элементов, где n!=1·2·3·4·…·n – факториал, 0!=1.

– число сочетаний из n элементов по к элементов.

– число размещений из n элементов по к элементов.

Вероятность события

Опр. Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления события.

Классическое определение вероятности события: , где n – число всех исходов испытания, m – число благоприятствующих событию А исходов.

_0≤P(A)≤1

_{– относительная частота события , W(A)≈P(A).}

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Следствия:

1. , если события попарно несовместны.

2. если события образуют полную группу.

3. .

4. , если события независимы.

5. , если события зависимы.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

– гипотезы,

Формула Байеса:

Независимые повторные испытания

Название формулы	Формула	Условия применения
Формула Бернулли		n мало
Локальная формула Лапласа	, где Свойства φ(х): 1. φ(-x)=φ(x); 2. значения функции занесены в таблицу, причём если х>3,99, то φ(х)≈0.	n – велико
Формула Пуассона	, где λ=np	n – велико (n≥100), p – мало (p≤0,1)
Интегральная формула Лапласа	где – функция Лапласа. Свойства Ф(х) : 1. -0,5< Ф(х) <0,5; 2. Ф(-х)=-Ф(х); 3. значения функции занесены в таблицу, причём если х>5, то Ф(х)≈0,5.	n – велико,

Наиболее вероятное число наступлений события при повторных испытаниях: