- •Математика
- •Контрольная работа №1
- •1. Даны вершины треугольника abc. Найти:
- •1) Длину стороны ab;
- •Контрольная работа № 2
- •Контрольная работа № 3
- •Решение типовых задач
- •Контрольная работа № 2
- •Контрольная работа № 3
- •Справочные материалы аналитическая геометрия Прямая на плоскости
- •Дифференциальное исчисление
- •Интегральное исчисление
- •Дифференциальные уравнения
- •Теория вероятностей
- •Случайные величины
- •Элементы математической статистики
Случайные величины
Дискретная случайная величина
Опр. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется величина, возможные значения которой изолированы друг от друга, и их можно занумеровать.
Закон распределения ДСВ задаётся в виде таблицы:
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
x1, x2, …, xn – возможные значения величины, p1, p2, …, pn – их вероятности, причём
Числовые характеристики дискретной случайной величины
1) Математическое ожидание:
Вероятностный смысл: математическое ожидание величины приближённо равно её среднему значению.
Свойства М(Х):
2) Дисперсия – число, характеризующее степень разброса значений величины вокруг её среднего значения.
или
Свойства D(X):
3) Среднее квадратическое отклонение:
4) Мода (Мо) – наиболее вероятное значение.
5) Медиана (Ме) – значение, делящее распределение на две равные части.
Виды распределения ДСВ
Вид |
Случайная величина Х |
Формула |
Числовые характеристики |
Биноми-альное |
Х – число наступлений события А в n повторных независимых испытаниях. |
|
|
Пуассона |
Х – число наступлений события А в n повторных независимых испытаниях, причём n - велико (n≥100), p – мало (p≤0,1). |
, где |
|
Геометри-ческое |
Х – число испытаний, проведённых до первого появления события А. |
Если число испытаний ограничено, то |
По общим формулам |
Непрерывная случайная величина
Опр. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется величина, возможные значения которой непрерывно заполняют собой некоторый конечный или бесконечный интервал.
– функция распределения вероятностей случайной величины.
Свойства F(x):
– плотность распределения вероятностей НСВ.
Свойства f(x):
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
1) Математическое ожидание:
2) Дисперсия:
3) Среднее квадратическое отклонение:
Виды распределения НСВ
|
Равномерное |
Нормальное |
Показательное |
Плотность распределения |
|
|
|
Функция распределения |
|
|
|
Числовые характеристики |
|
|
|
Вероятность попадания в интервал |
|
Правило трёх сигм:
|
|
Закон больших чисел
Неравенство Чебышева:
Теорема Чебышева: ,
где
Теорема Бернулли: