Тема 2.1. Логика высказываний

Цель: ввести логическую терминологию.

Задачи:

1. Рассмотреть понятие логические связки.

2. Рассмотреть основные схемы логически правильных рассуждений.

В математической логике изучаются способы (правила) формального представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логически выдержанных преобразований, а также способы (методы) установления истинности или ложности высказываний. Два основных раздела математической логики: логика высказываний и логика предикатов (рис. 2.1), для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления. Между данными подходами имеет место изоморфизм, который характеризуется единством законов логики.

Рис. 2.1. Разделы математической логики и способы их построения

Высказывание - повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Пример 1.

Высказываний: «Информационный менеджмент специальность факультета управления и предпринимательства», «Регистрация фирмы требует наличия ее устава», «Рубль - российская валюта», «Все люди смертны».

Истинность или ложность суждения зависит от того, к какой предметной области мы его относим, иными словами в каком контексте употребляем.

2.1.1. Логические связки

Высказывание простое (элементарное), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Простые высказывания принимают либо истинное либо ложное значение, но не то и другое вместе. Данные высказывания обычно не содержат логических связок.

Высказывание сложное (составное) - высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или», «не»; слова «если то», «либо ... либо» (в разделительном смысле), «тогда и только тогда, когда» и др. В логике высказываний логические связки обязаны быть определенными точно.

Основные логические связки (операции)логики высказываний:

Конъюнкцией (операцией «И») двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное - во всех других случаях. Обозначение: Р&Q, Р^Q, Р*Q.

Пример 2.

Для укола необходимы шприц и лекарство. Высказывание состоит из двух простых: А – «для укола необходим шприц», В – «для укола необходимо лекарство». Высказывания А и В соединены связкой «и» следовательно выражение истинно только при одновременной истинности двух высказываний A^B.

Дизъюнкцией (операцией «ИЛИ») двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное - во всех других случаях. Обозначение: PvQ, Р+Q.

Пример 3.

У человека технический склад ума или гуманитарный. Высказывание состоит из двух простых: А – «у человека технический склад ума», В – «у человека гуманитарный склад ума». Высказывания А и В соединены связкой «или» следовательно выражение принимает вид AvB.

Отрицанием (инверсией) высказывания Р называется высказывание, истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное - в противном случае. Обозначение: .

Импликацией (логическим, следованием) двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное, когда Р истинно, a Q ложно; во всех других случаях - истинное. Обозначение: P→Q (если Р то Q). При этом высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q- заключением.

С понятием импликация возникают некие вопросы. Рассмотрим их на примере.

Пример 4.

Если у делится на 4 то у делится на 2. Высказывание состоит из двух простых: А – «у делится на 4», В – «у делится на 2». Высказывание Если А то В истинно при всех у. При у=5 обе части ложны, а высказывание истинна. При у=6 посылка ложна, а заключение истинна и вся импликация истинна. При у=8 обе части истинна и высказывание истинна. Если же переформулировать высказывание «Если у делится на 2 то у делится на 4., то получим при у=2 посылка истинна, а заключение ложно и вся импликация ложна.

Если считать, что истинность импликации определяется истинностью ее частей, а не наличием между ними каких-либо причинно-следственных связей, то все строки таблицы истинности обоснованы.

Эквивалентностью (эквиваленцией, равнозначностью) двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное, когда истинностные значения Р и Q совпадают, и ложное - в противном случае. Обозначение: Р~ Q, P≡Q, P↔Q (Р эквивалентно Q).

Пример 5.

Что в лоб, что по лбу. А – «В лоб», В – «По лбу»,представимо логической формулой А~ В.

Неравнозначностью (исключающим "ИЛИ", сложением по модулю 2) двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное, когда истинностные значения Р и Q не совпадают, и ложное - в противном случае. Обозначение: Р Q (либо Р, либо Q).

Пример 6.

Сегодня понедельник или вторник. Высказывание состоит из двух простых: A – «Сегодня понедельник»; В – «Сегодня вторник». Высказывания А, В соединены связкой «или» в разделительном смысле, т.е A B.

Будем называть выражение, составленное из обозначений высказываний и связок (и, разумеется, скобок), - логической формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

• любая переменная, обозначающая высказывание является формулой;

• если A и В- формулы, то (А & В), (Р v Q), P→Q, Р~ Q, Р Q - формулы;

• других формул нет.

Пример7.

Представить выражение «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые» логической формулой.

А – «Идет дождь», В – «Крыши мокрые». В первом предложении «Если идет дождь, то крыши мокрые» высказывания A и B соединены связкой «если…то» A→B. Во втором «Дождя нет, а крыши мокрые» имеет смысл связки «и» и кроме этого высказывание А следует взять с отрицанием & В. Объединив два высказывания в одно связкой &: (A→B) & ( & В)