2.4.1. Основные понятия теории нечетких множеств

Пусть А – некоторое подмножество универсального множества Е, а х – элемент множества Е. В обычной (четкой) теории множеств функция принадлежности элемента х подмножеству А может принимать два значения: , если и , если .

В теории нечетких множеств функция принадлежности элемента х подмножеству А может принимать любые значения на отрезке [0, 1] т.е. , при этом подмножество А называют нечетким.

Пример 1.

Пусть Е= – множество действительных чисел, тогда нечеткие множества: “большой отрицательный”, “приблизительно нулевой”, “большой положительный” могут быть определены функциями принадлежности (рис. 2.2).

Замечание. В виду сложившихся традиций в рассматриваемой теории вместо термина “нечеткое подмножество” используют термин “нечеткое множество”.

Рис. 2.2. Функции принадлежности нечетких множеств: “большой отрицательный” (N), “приблизительно нулевой” (ZE), “большой положительный” (P).

Для определения вида функций принадлежности разработаны различные экспертные методы. В ряде случаев используют типовые формы функций принадлежности, тогда методом экспертных оценок определяется тип функций принадлежности и их параметры.

Приведем некоторые типовые виды функций принадлежности.

Кусочно-линейные функции принадлежности описываются уравнениями:

На рис. 2.3. приведен вид графиков функций принадлежности типов Z(a), N(б), P(в) соответственно, при a=0 λ=1.

Рис. 2.3. график функций принадлежности типов N(а), Z(б), P(в) при a=0 λ=1.

Показательные (Пуассона) функции принадлежности описываются

уравнениями:

На рис. 2.4 приведен вид графиков функций принадлежности типов Z(a), N(б), P(в) соответственно, при a=0 и λ=1.

Рис. 2.4. график функций принадлежности типов N(а), Z(б), P(в) при a=0 и λ=1

Гауссовы функции принадлежности описываются уравнениями:

На рис.2.5 приведен вид графиков функций принадлежности типов Z(a), N(б), P(в) соответственно, при a=0 и λ=1.

Рис. 2.5. график функций принадлежности типов N(а), Z(б), P(в) при a=0 и λ=1

2.4.2. Логические операции над нечеткими множествами

Включение. Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве X . Говорят, что A содержится в B , или B включает A , т.е. A B , если . Иногда используют термин «доминирование», т.е. B доминирует A при A B (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Операция включение (доминирование) нечетких множеств

Равенство. Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве X . Говорят, что A и B равны, т.е. A=B , если . В противном случае A≠B (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Операция равенства нечетких множеств

Дополнение. Пусть A и B – нечеткие множества с множеством принадлежностей характеристических функций , заданные на универсальном множестве X . Говорят, что A и B дополняют друг друга, т.е. или , если (рис. 2.8). Очевидно следствие =A так называемое свойство инволюции.

Рис. 2.8. Операция дополнение нечетких множеств

Пересечение нечетких множеств (рис. 2.9) A и B , заданных на универсальном множестве X , - это наибольшее нечеткое множество A B, содержащееся одновременно и в A , и в B с функцией принадлежности:

Рис. 2.9. Операция пересечение нечетких множеств

Объединение нечетких множеств (рис. 2.10) A и B , заданных на универсальном множестве X , - это наименьшее нечеткое множество A B, включающее как A , так и B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

тут максимум

Рис. 2.10. Операция объединение нечетких множеств

Разность нечетких множеств A и B (рис. 2.11), заданных на универсальном множестве X, - это нечеткое множество A\B=A с функцией принадлежности, заданной как:

Рис. 2.11. Операция разность нечетких множеств

Симметрическая разность нечетких множеств A и B , заданных на универсальном множестве X , - это нечеткое множество A-B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

Дизъюнктивная сумма нечетких множеств A и B (рис. 2.12), заданных на универсальном множестве X, - это нечеткое множество с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

Рис. 2.12. Операция дизъюнктивная сумма нечетких множеств