1.1.2. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Обозначение С = А  В.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением (рис. 1.2) называется множество A B = {x:x A или x B}

Г еометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Венна.

Рис. 1.2. Объединение множеств А и В.

Свойства:

1. объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2^X;

2. операция объединения множеств коммутативна ;

3. операция объединения множеств транзитивна ;

4. пустое множество Х={} является нейтральным элементом операции объединения множеств .

5. .

Пример 4.

Пусть A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6,7}. Тогда .

Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат и А и В. Обозначение С = А  В.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их пересечением (рис. 1.3) называется множество A B = {x:x A и x B}.

А

В

С

Рис. 1.3. Пересечение множеств А и В.

Пересечение прямой и плоскости:

1. если прямые не параллельны плоскости, то множество пересечений – единственная точка;

2. если прямые параллельны плоскости, то M ;

3. если прямые совпадают с плоскостью, то множество пересечений = множеству точек прямой.

Свойства:

1. пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2^X;

2. операция пересечения множеств коммутативна ;

3. операция пересечения множеств транзитивна ;

4. универсальное множество Е является нейтральным элементом операции пересечения множеств ;

5. операция пересечения множеств идемпотентна ;

6. если Х={} — пустое множество, то .

Пример 5.

Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6}. Тогда .

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается: С=А\В.

П усть даны два множества A и B. Тогда их разностью (рис. 1.4) называется множество A \B = {x:x A и x B}.

Рис. 1.4. Разность множеств А и В.

Свойства:

1. строго двухместна (т е определена только для двух множеств);

2. не коммутативна, т.е. A\B  B\A. Если A\B=, то А  В;

3. A \ =A, A \ A=.

Пример 6.

Если A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h}. Тогда C = A \ B={a}.

Если все рассматриваемые множества являются подмножеством некоторого «универсального множества» множества Е, то может быть определена операция дополнения. Дополнением (рис. 1.5) до Е множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих Е) , где E – универсальное множество; - дополнение.

Рис. 1.5. Дополнение множества А до универсального множества Е.

Свойства:

1. E \ A = ;

2. A \ E=.

1.1.3. Векторы и прямые произведения

Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются.

Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы и равны, если и .

Прямым произведением множеств А и В (обозначение ) называется множество всех упорядоченных пар , таких, что . В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А². Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех векторов длины п, таких, что .

Пример 7.

Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость. Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример 8.

Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Проекцией вектора на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается пр_ia). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).

Теорема. Мощность произведения конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств: .

Следствие. .