- •Ответ №1
- •Ответ №2
- •Ответ №3
- •Ответ №5
- •Ответ №7
- •Ответ №9.
- •Ответ №10
- •Ответ№12
- •Ответ №13
- •Ответ №14
- •Ответ №16
- •Ответ №19
- •Ответ №20
- •Ответ №21
- •Ответ №22
- •Ответ №23
- •Ответ №24
- •Ответ №26
- •Ответ №27
- •Ответ №28
- •Ответ №29
- •Ответ №30
- •Ответ №32
- •Ответ №33
- •Ответ №34
- •Ответ №35
- •Ответ №36
- •Ответ №37
- •Ответ №38
- •Ответ №39
- •Ответ №40
Ответ №28
Первообразная и неопределенный интеграл.
К понятию первообразной приводит следующая физическая задача: пусть точка движется прямолинейно, и в каждый момент времени известна скорость v(t). Найти путь s(t). Задача сводится к отысканию такой функции s(t), производная которой равна известной функции v(t), то есть возникает задача, обратная дифференцированию. Пусть y=f(t) определена на промежутке X.
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на X, если xX: F'(x) = f(x).
Примеры.
s(t) - первообразная для v(t).
F(x)=ln x - первообразная для функции f(x)= на (0, +). F(x)=ln(-x) - первообразная для функции f(x)= на (-,0).
F(x)=lnx- первообразная для функции f(x)= на (-,0) и (0, +).
f(x) =x= .
F(x) = .
Самостоятельно докажите, что F '(0) существует и равна 0.
f(x) =sgn x = .
F(x) = x - первообразная для f(x)=sgn x при x > 0.
F(x) = -x - первообразная для f(x)=sgn x при x < 0.
(рисунок)
f(x)=sgn x не имеет первообразной на всей числовой прямой.
//Замечание. Отметим, что если F(x) - первообразная для f(x) на X, то есть xX: F'(x) = f(x), то F(x)+C (C = const) - также первообразная для f(x) на X, так как xX: (F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x).
Верно и обратное:
Теорема 5.1 (основная теорема интегрального исчисления). Если F1(x) и F2(x) - любые первообразные для f(x) на X, то F1(x)-F2(x)=const на X.
Доказательство.
Введем обозначение: F(x) = F1(x)-F2(x). Требуется доказать, что F(x) = const на X.
xX: F'(x) = - = 0.
Таким образом, нужно доказать: если F'(x) = 0 xX, то F(x)=const на X. Этот факт будет доказан позже, и тогда эта теорема будет доказана.
Следствие. Если F(x) - какая-то первообразная для f(x) на X, то любую другую первообразную (x) можно представить в виде: (x)= F(x)+C, где C - некоторая постоянная.
Определение: Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от этой функции на промежутке X и обозначается . f(x) называется подынтегральной функцией. f(x)dx называется подынтегральным выражением. Отметим, что подынтегральное выражение является дифференциалом любой первообразной функции f(x). В самом деле:
dF(x)=F'(x)dx= f(x)dx. (1)
В силу следствия из теоремы 5.1 справедлива формула:
= F(x)+C, (2)
где F(x) - одна из первообразных для f(x), C - произвольная постоянная.
Пример.
=sinx + C.
Поставим вопрос: какие функции имеют первообразную? Позднее будет доказано, что любая непрерывная на промежутке X функция f(x) имеет первообразную на этом промежутке.
Основные свойства неопределенного интеграла.
= f(x)dx.
= F(x)+C.
Свойства 1 и 2 следуют из равенств (1) и (2) параграфа 1.
= .
Доказательство.
Пусть F(x) - первообразная для f(x), а G(x) - первообразная для g(x). Тогда F'(x) = f(x), G'(x) = g(x), и также = F(x)+C1, = G(x)+C2. Сладывая и вычитая два последние равенства, получим:
= [F(x)G(x)] +(С1С2). (1)
С другой стороны, [F(x)G(x)]' = F'(x) G'(x) = f(x) g(x).
Поэтому = [F(x)G(x)] +С. (2)
Правые части в этих равенствах равны с точностью до определенной постоянной, следовательно, равны и левые части.
=> = .
Если k - число, то =k .
Доказать самостоятельно.
Таблица основных неопределенных интегралов.
1. = +C (-1).
2. =lnx+C (x0).
3. =sinx + C.
4. =cosx + C.