- •Ответ №1
- •Ответ №2
- •Ответ №3
- •Ответ №5
- •Ответ №7
- •Ответ №9.
- •Ответ №10
- •Ответ№12
- •Ответ №13
- •Ответ №14
- •Ответ №16
- •Ответ №19
- •Ответ №20
- •Ответ №21
- •Ответ №22
- •Ответ №23
- •Ответ №24
- •Ответ №26
- •Ответ №27
- •Ответ №28
- •Ответ №29
- •Ответ №30
- •Ответ №32
- •Ответ №33
- •Ответ №34
- •Ответ №35
- •Ответ №36
- •Ответ №37
- •Ответ №38
- •Ответ №39
- •Ответ №40
Ответ №35
Основные понятия и определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим произвольную функцию , которая определена и непрерывна на отрезке . Разобъем отрезок на частей (не обязательно равных) точками
которые не совпадают. Получаем, что отрезок есть объединение полуинтервалов открытых справа , и отрезка , т.е.
(эти полуинтервалы и отрезок будем называть множествами).
Возьмем из каждого множества произвольную точку и составим следующую сумму:
где -- длина (мера) полуинтервала (множества ).
Определение. Предел от суммы при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается:
Если существует определенный интеграл от функции , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .
Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.
Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл
и имеет место формула
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
На практике для вычисления площадей, объемов фигур, заданных функциями, применяетсяопределенный интеграл.
Ответ №36
Вычисление площадей
Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную осью , прямыми , и кривой .
Требуется найти площадь данной криволинейной трапеции. Покажем, что эта задача эквивалентна нахождению определенного интеграла.
Разобъем отрезок на частей точками
Получаем, что отрезок есть объединение полуинтервалов открытых слева , и отрезка , т.е.
(эти полуинтервалы и отрезок будем называть множествами).
Возьмем из каждого множества произвольную точку и составим следующую сумму:
где -- длина (мера) множества (полуинтервала).
Величина -- это сумма площадей прямоугольников со сторонами и , . При стремлении к нулю сумма будет стремиться к значениюопределенного интеграла
Получаем, что площадь криволинейной трапеции есть
Рассмотрим случай задания кривой параметрическим образом, т.е.
где параметр . Тогда площадь вычисляется через определенный интеграл:
Аналогично можно рассмотреть случай, когда криволинейная трапеция прилежит к оси , т.е. криволинейная трапеция ограничена линиями , , осью и кривой . В этом случае площадь вычисляется через интеграл:
Вычисление объема тела вращения
Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .
Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .
Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:
Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл: