- •Ответ №1
- •Ответ №2
- •Ответ №3
- •Ответ №5
- •Ответ №7
- •Ответ №9.
- •Ответ №10
- •Ответ№12
- •Ответ №13
- •Ответ №14
- •Ответ №16
- •Ответ №19
- •Ответ №20
- •Ответ №21
- •Ответ №22
- •Ответ №23
- •Ответ №24
- •Ответ №26
- •Ответ №27
- •Ответ №28
- •Ответ №29
- •Ответ №30
- •Ответ №32
- •Ответ №33
- •Ответ №34
- •Ответ №35
- •Ответ №36
- •Ответ №37
- •Ответ №38
- •Ответ №39
- •Ответ №40
Ответ №22
Частные производные функции нескольких переменных
Пусть М(х1, х2, ..., хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1, ..., xm). Пусть xk - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции
xku f(x1, ..., xk-1, xk + xk, xk+1, ..., xm) - f(x1, ..., xm).
Рассмотрим отношение , которое зависит от xk и определено при всех достаточно малых xk, отличных от нуля.
Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x1, ..., xm) в т. М(x1, ..., xm) по аргументу xk и обозначается одним из символов: . Таким образом, .
Замечание. Так как изменяется только xk + xk, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.
Пример 1. u = x2 + 3xy - y
вычисляем при условии, что y = const
вычисляем при условии, что x = const
Пример 2.
(при фиксированном у применима обычная теорема о производной сложной функции)
Аналогично
Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.
Сразу отметим, что частные производные в т.М0 могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М0 и параллельных координатным осям.
Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М0 (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М0).
Пример 3. Функции показывает, что частные производные ее
(аналогично )
существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.
Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полным приращением функции в точке.
Градиент
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
, , .
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.