13Свободные колебания.Диф-е ур-ие колебаний,его решение.Формула Томсона.Графики зависимости q,u,I от времени.

Если положение системы в любое время может быть описано единственным параметром, то система имеет одну степень свободы. Этим параметром может быть, например, отрезок прямой, отсчитываемый от некоторой линии или угол, отсчитываемый от какой-то плоскости. Будем считать, что в положении устойчивого равновесия (х=0) потенциальная энергия U=U(x) системы минимальна U(0)=0. В случае малых колебаний, разложив функцию U(x) в ряд по степеням x, ограничимся первыми тремя членами формулы Маклорена: , т.к. в точке минимума , а U'' должна быть >0, то . Введя обозначение U'(0)=k (k>0) получаем формулу для потенциальной энергии . Зная вид функции U(x) можно найти величину силы, действующей на систему . Силы вида называются квазиупругими независимо от их природы. Эта сила (знак «-») всегда направлена к положению равновесия и

называется возвращающей силой. Рассмотрим в качестве примера колебательную систему с одной степенью свободы пружинный маятник.

В смещенном положении действительно носит характер квазиупругой силы.

Если шарик сместить из положения равновесия на x=a и дать ему свободу, то под действием квазиупругой силы F шарик будет двигаться со скоростью . Потенциальная энергия при будет убывать, а кинетическая энергия должна возрастать (закон сохранения энергии). Массой пружины пренебрегаем. Пройдя положение равновесия движение станет замедляться и при x= - a шарик остановится . При отсутствии трения получим собственные колебания системы. Основное уравнение динамики поступательного движения записывается в данном случае , обозначив

имеем .

Это дифференциальное уравнение описывает собственные колебания системы в отсутствие сил трения. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид: , где -амплитуда колебания, - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза колебания.

Итак, движение системы, находящейся под действием силы вида F=-kx, является гармоническим колебанием.

Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления R. Для удобства сравнения с колебаниями пружинного маятника условимся считать (+) I, заряжающий емкость C.

Закон Ома для участка цепи с : ; , поскольку IR=0 (т.к.R=0)

Введя обозначение , получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре.

Из теории дифференциальных уравнений известно, решением полученного диф. ур - я является уравнение вида

, где - собственная частота контура. Итак, поскольку циклическая частота и период колебаний взаимосвязаны , можно получить формулу для периода собственных электрических колебаний в LC –контуре, получившей название формулы Томсона.

Изменение напряжения на конденсаторе также осуществляется по гармоническому закону Изменение тока в цепи также оказывается гармоническим колебанием. Действительно,

Итак, . Индексом m в формулах обозначены амплитудные (т.е., максимальные) значения заряда, напряжения и тока. Видим, что при q и U достигающих максимальных значений ток становится равным нулю I=0 и наоборот. Это соотношение было нами уже установлено, исходя из энергетических соображений.

14Затухающие колебания.Диф-е ур-ие,его решение.График q=q(t).Логарифмический декремент затухания.Добротность контура.

В любой реальной колебательной системе есть силы, препятствующие свободным колебаниям. При этом часть энергии системы безвозвратно теряется и колебания постепенно затухают. Следовательно, реальные свободные колебания всегда являются затухающими. В общем случае для механических колебаний сила сопротивления может быть записана как , где r – коэффициент сопротивления, а знак «-» обозначает, что противоположны по направлению. Тогда основное уравнение динамики для материальной точки запишется как и, введя обозначение , получим дифференциальное уравнение, описывающее затухающие механические колебания материальной точки:

Его решение: . Периодичность нарушается ; . - коэффициент затухания, - собственная (циклическая) частота, А – амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону А =

Затухающие электромагнитные колебания.

В реальном колебательном контуре часть энергии идет на выделение джоулева тепла в проводниках и активном сопротивлении катушки индуктивности. Следовательно, свободные колебания в контуре затухают тем быстрее, чем больше его активное сопротивление. Если выделить все активные сопротивления контура в виде R, то для реального колебательного контура (при условии I>0 при зарядке С)

Введем обозначения: получаем уравнение для изменения со временем заряда q :

- коэффициент затухания, - собственная (циклическая) частота, q – заряд на конденсаторе,

Это уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний.

Его решение (из теории дифференциальных уравнений):

, таким образом, частота затухающих колебаний (циклическая) т.е.

Для U и I получим:

Введем обозначение , ,

Тогда

(Вспомним, что )

График функции для зависимости q от времени имеет вид

- сдвиг фаз между током и напряжением

Для характеристики затухания колебаний в контуре вводят понятие логарифмического декремента затухания.

Физический смысл логарифмического декремента затухания .

Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N_e , после совершения которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Другой важной характеристикой контура является его добротность Q.

Добротность- это умноженное на число колебаний N_e , после совершения которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Введем новое обозначение:

В случае слабого затухания колебаний .

15-16Вынужденные колебания

Вынужденные колебания.

Колебания в системе, вызванные внешним периодически изменяющимся воздействием, называются вынужденными.

Рассмотрим колебательный контур, в который последовательно включен источник переменного напряжения.

Uc , UL , UR - напряжения, соответственно, на конденсаторе С, на катушке индуктивности L(на схеме не изображена) и на омическом сопротивлении контура R.

Получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний Решение этого дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного q=q₁+q_2. Нас будут интересовать только установившиеся колебания. Поскольку в общем решении стоит множитель , быстро убывающий со временем, то вынужденные колебания практически описываются частным решением дифференциального уравнения q₂, которое может быть представлено в виде:

Или с учетом ранее введенных обозначений

Найдем

=

Введем обозначение , откуда (*)

- в фазе с током

- отстает по фазе от тока на

- опережает ток по фазе на

Это может быть представлено с помощью векторной диаграммы, если изобразить амплитуды напряжений U_Rm = RI_m, U_Cm = I_m / , U_Lm =I_m и их векторную сумму, равную Определенный из векторной диаграммы тангенс угла соответствует (*). Векторная диаграмма здесь изображена для внешнего напряжения, представленного не как как , а как . Величины: R_L и = R_C получили названия индуктивного R_L и емкостного R_C сопротивлений.