- •1.2. Классификация радиотехнических сигналов
- •Теория цепей
- •1.1. Основные определения.
- •1.2 Идеализированные пассивные элементы
- •Дуальные элементы и цепи.
- •Топология цепей
- •Графы схем электрических цепей.
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Основы теории четырехполюсников.
- •Резонансные цепи
- •Носители заряда
- •Энергетические уровни и зоны
- •2.5. Распределение носителей в зонах проводимости
- •Полупроводниковые переходы и контакты
- •Электронно-дырочные переходы
- •Статические характеристики транзисторов
- •6. Основная и дополнительная литература
2.5. Распределение носителей в зонах проводимости
Разрешенные зоны содержат огромное количество уровней (1022-1023 в 1 см3), на каждом из которых могут находиться электроны. Фактическое же количество электронов зависит от концентрации доноров и от температуры. Чтобы оценить фактическую концентрацию носителей в полупроводнике, нужно знать распределение уровней и вероятность заполнения этих уровней.
Энергетическое распределение электронов в твердом теле определяется статистикой Ферми-Дирака. Принципиальный результат функции распределения Ферми-Дирака дает вероятность того, что электрон занимает уровень, соответствующий потенциалу φ:
Fn(φ) = , (2.2)
где φT = кТ — температурный потенциал, T — абсолютная температура, к — постоянная Больцмана, φF — уровень Ферми.
Можно определить уровень Ферми как потенциал, вероятность заполнения которого электроном равна в точности одной второй. Функции распределения Ферми-Дирака симметричны относительно уровня Ферми. Если энергетические состояния в зоне проводимости и валентной зоне одинаковы, то уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны. Это случай собственного полупроводника (рис. 2.11, а). В полупроводнике n-типа концентрации электронов в зоне проводимости больше, чем в случае собственного полупроводника (рис. 2.11, б), а в полупроводнике р-типа — меньше (см. рис. 2.11, в).
Для потенциалов в несколько единиц кТ выше или ниже уровня Ферми, когда экспонента значительно больше единицы, распределение Дирака-Ферми можно заменить распределением Максвелла-Больцмана. При этом вероятность заполнения уровня в зоне проводимости определяется как
Fn(φ) =e- . (2.3)
Вероятность незаполнения уровня в валентной зоне (т.е. наличия дырки на этом уровне) определяется аналогичной функцией
Fp(φ) = e- . (2.4)
Обозначим через Р(φ) плотность уровней в зоне проводимости вблизи уровня φ. Тогда Р(φ)dφ будет количеством уровней в диапазоне dφ. Умножив это количество на вероятность заполнения этих уровней Fn(φ), получим концентрацию свободных электронов с энергиями от φ до φ + dφ. Полную концентрацию свободных электронов п получим путем интегрирования по всей ширине зоны проводимости. Если принять зависимость Р(φ) ~ , то
n =Nce- . (2.5)
Здесь Nc — так называемая эффективная плотность уровней (состояний) в зоне проводимости:
Nc =0,5∙1016(mn/ m)3/2 T 3/2 , где mn – эффективная масса электрона.
Аналогичным методом получается выражение для концентрации дырок:
p = Nv . (2.6)
Здесь Nv — эффективная плотность уровней (состояний) в валентной зоне:
Nv = 0,5∙1016(mp/m)3/2T3/2, (2.7)
где mp — эффективная масса дырки. Для кремния отношение Nc/Nv= 2,8. Часто для простоты полагают Nc = Nw.
Рис.2.8. Функция распределения Ферми-Дирака для собственного, n и р- типов полупроводников: а – собственный полупроводник; б – полупроводник n-типа ; в – полупроводник р-типа.
Перемножая левые и правые части в формулах (2.5) и (2.6) и учитывая, что φ3 = φc – φv, нетрудно представить произведение концентраций электронов и дырок следующим образом:
np = NcNv . (2.8)
Как видим, при неизменной температуре произведение концентраций— величина постоянная, т.е. увеличение одной из концентраций сопровождается уменьшением другой.
В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы. Обе они обозначаются через ni и называются собственными концентрациями. Подставляя n=ni и p=ni в (2.8) и извлекая квадратный корень, получаем выражение для собственной концентрации:
ni = (2.9)
Отметим полную зависимость собственной концентрации от ширины запрещенной зоны и температуры.
Соотношение (2.8) часто записывают в более компактной форме через собственную концентрацию:
np = n (2.10)
Используя выражения (2.5) и (2.6), полагая для простоты Nc = Nv и учитывая, что φЕ=1/2 (φс+φv), нетрудно представить отношение концентраций электронов и дырок в виде:
n/p = e . (2.11)
Подставим в левую часть (2.11) значение p =n /n из (2.10) и прологарифмируем обе части; тогда уровень Ферми запишется через концентрацию свободных электронов следующим образом:
φF = φE + φTln(n/ni). (2.12 a)
Если подставить в (2.11) значение n=n /p из (2.10), то уровень Ферми запишется через концентрацию дырок:
φF = φE - φTln(p/ni). (2.12 б)
Вторые члены в правых частях (2.12), характеризующие концентрации носителей, называются химическим потенциалом. Следовательно, уровень Ферми является суммой электрического и химического потенциалов. Отсюда еще одно его название — электрохимический потенциал.
Одно из фундаментальных положений в физике полупроводников формулируется следующим образом: уровень Ферми одинаков во всех частях равновесной системы, какой бы разнородной она ни была. Это положение можно записать в виде двух равносильных выражений:
φF=const, grad(φF)=0 (2.12в)
Из условия (2.12в) в одномерном случае следует, что если концентрация электронов изменяется вдоль координаты х, то возникает электрическое поле
E = φT
Таким образом, в неоднородно-легированных полупроводниках смещение подвижных носителей, обусловленное градиентом концентрации, уравновешивается внутренним электрическим полем. Иногда его называют встроенным, а возникающее при этом равновесие называют больцмановским.