4.2. Основні принципи методу аналізу розмірностей

Багато процесів мікробіологічної технології залежать від великої кількості різних факторів, що для них не вдається отримати повного математичного опису можна лише в самому загальному вигляді уявити залежність між різними змінними, впливаючими на протікання процесу.

Якщо, наприклад згідно практичним даним, деяка величина  залежить від параметрів ,,,, то загальний вигляд залежності між даними величинами

(74)

Для пошуку конкретного виду функціональної залежності, тобто для знаходження розрахункового рівняння, може бути застосований метод аналізу розмірностей.

В основу методу покладена – теорема Бекінгема, згідно якої загальна функціональна залежність, зв’язуюча між собою n змінних величин при m основних одиницях їх виміру, можна представити у вигляді залежності між (n-m) безрозмірними комплексами цих величин, а при наявності подібності – в вигляді зв’язку між (n-m) критеріями подібності.

Так, наприклад, якщо розлядаєме явище описується в загальному вигляді співвідношенням (75) зв’язуючим п’ять будь-яких фізичних величин і якщо ці величини виражаються за допомогою трьох основних одиниць вимірювання, то n=5, m=3.

Тоді відповідно (n-m)=2, і вказана функціональна залежність може бути представлена у вигляді функції між деякими двома безрозмірними комплексами ₁ і _2.

(75)

або

(76)

Розглянемо використання методу аналізу розмірностей на цьому прикладі, вважаючи, що розмірності усіх п’яти величин, характеризуючих процес, виражаються через основні одиниці вимірювання в СІ, а саме – одиниці довжини L (м), часу Т (сек) і маси М (кг).

Нехай функція загального вигляду (72) може бути наближено представлена у вигляді степеневої залежності між величинами

(77)

де - невідомі чисельні величини

Виразимо розмірність величин в одиницях довжини, часу, маси:

В цих виразах розмірностей показниками ступеню при L,T,M - деякі певні числові величини.

Враховуючи, що розмірність загальних частин рівняння (77) однакова, а х - безрозмірний коефіцієнт, замінимо в ньому всі величини їх розмірностями

(78)

або при підстановці конкретного виразу розмірності кожної величини

Розкриваючи дужки у правій частині цього рівняння і групуючи однорідні члени, отримаємо

Показники ступенів при однакових основних одиницях в обох частинах рівняння повинні бути рівні. Тому

(79)

У цій системі з 3-х рівнянь маємо чотири невідомі: . Будь-які три з них завжди можна виразити через четверту наприклад.

(80)

де A,B,C,D,E,F—певні числові величини, значення яких визначаються з системи рівнянь (79) за значеннями всіх числових величин а,b,с.

Підставимо тепер значення у рівняння (78)

або

,

звідки переходячи до безрозмірної форми отримаємо

(81)

В цьому рівнянні, у відповідності з - теоремою, зв’язок між п’ятьома початковими величинами представлений у вигляді загальної залежності між двома безрозмірними комплексами цих величин

Для знаходження конкретного вигляду рівняння слід визначити числові значення невідомих величин - коефіцієнта х і показника ступеню у.

Це може бути зроблено шляхом експериментальних досліджень на дослідній установці (моделі) і обробки результатів експериментів у вигляді залежностей між безрозмірними комплексами і .

Для користування методом аналізу розмірностей необхідно попередньо знати, які змінні повинні входити у залежність загального вигляду. Якщо при складанні такої початкової залежності не врахувати тих чи інших параметрів, які суттєво впливають на процес, то це може привести до серйозних помилок при отриманні кінцевого розрахункового рівняння, що є недоліком цього методу.