Любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр

a_n a_n-1 a_n-2 . . . a₁ a₀ , a_-1 a_-2 . . . a_-k, где a_i либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными в ней коэффициентами (полином):

a_n * 2ⁿ + a_n-1* 2^n-1 + a_n-2 * 2^n-2 + ...+ a₁ * 2¹ + a₀* 2⁰ + + a_-1* 2^-1 + a_-2 * 2^-2 +...+ a_-k * 2^-k

Например:

Двоичное число

(10101101,101)₂= 1* 2⁷ + 0* 2⁶ + 1* 2⁵ + 0* 2⁴ +1* 2³+1*2²+0*2¹ +1*2⁰ + 1*2^-1+0*2^-2 +1*2^-3

что соответствует десятичному числу 173,62510

Преимущества двоичной системы

• Двоичное изображение числа требует большего количества разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы удобно тем, что для представления в вычислительной технике двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния.

• Другим важным достоинством двоичной системы является простота двоичных арифметических действий.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе употребляются восемь цифр: 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7.

Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью цифр

b_n b_n-1 b_{n-2 . . .} b₁ b₀ , b_-1 b_{-2 . . .} b_-k ,в которой b могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Этой записи соответствует разложение числа по степеням числа 8:

b_n * 8ⁿ + b_n-1* 8^n-1 + b_n-2 * 8^n-2 + ...+ b₁ * 8¹ + b₀* 8⁰ + b_-1* 8^-1 + b_-2 * 8^-2 +...+ b_-k * 8^-k

Пример

восьмеричное число (703,04)₈= 7*8² +0*8¹+3*8⁰+0*8^-1+4*8^-2 = (451,0625)₁₀

Восьмеричная система используется для компактной записи двоичных команд и чисел.

Преимущества восьмеричной системы

• Простота перевода в двоичную систему счисления.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления для изображения чисел употребляется 16 цифр. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших 9. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а старшие шесть цифр этой системы - латинскими буквами: десять-А, одиннадцать-В, двенадцать-С, тринадцать-D, четырнадцать-Е, пятнадцать-F.

Произвольное число в шестнадцатеричной системе может быть записано в виде последовательности цифр: с_n с_n-1 с_{n-2 . . .} с₁ с₀ , с_-1 с_{-2 . . .} с_-k , где с может принимать любые из шестнадцати значений: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Этой записи соответствует разложение числа по степеням числа 16:

с_n *16ⁿ + с_n-1*16^n-1 + с_n-2 *16^n-2 + ...+ с₁ *16¹ + с₀*16⁰ + с_-1*16^-1 + с_-2 *16^-2 +...+ с_-k *16^-k

Пример

шестнадцатеричное число (В2Е.4)₁₆ =11*16²+2*16¹+14*16⁰+4*16^-1 = 2862,25₁₀

Преимущества 16-тиричной системы

• Шестнадцатеричная система позволяет записывать коды и команды еще более компактно.

Таблица соответствия первых 10-ти чисел в различных системах счисления

10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
2	0	1	01	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
8	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	B	C	D	E	F	10

Перевод чисел из одной системы счисления в другую и обратно

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему счисления

Для перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂   =  113₈  =  4B₁₆.

Перевод числа из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системы счисления в десятичную

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде x_q = (a_na_n-1   ...  a₀  ,  a_-1  a_-2   ...   a_-m)_q  сводится к вычислению многочлена

x₁₀ = a_n  qⁿ +  a_n-1  q^n-1   +   ...   +  a₀   q⁰   +   a_-1   q ^-1   +   a_-2   q^-2   +     ...     +   a_-mq^-

средствами десятичной арифметики

Примеры