- •1 Челябинский государственный университет
- •2 Рнц «Курчатовский Институт»
- •3 Институт астрономии ран о тепловой природе космологических сил отталкивания
- •Аннотация
- •Содержание
- •§1 Введение
- •§2 О центробежной природе космологических сил отталкивания
- •2.1. Космологические уравнения а.А. Фридмана
- •2.2. Космологическое гравитационное ускорение
- •2.3. Эйнштейновские силы отталкивания (λ–член)
- •2.4. Обобщенные уравнения а.А. Фридмана
- •2.5. Нерелятивистская Вселенная
- •2.6. Релятивистская Вселенная
- •2.7. Центробежные силы отталкивания
- •§3 Динамика идеализированной нерелятивистской Вселенной
- •§4 Динамика идеализированной релятивистской Вселенной
- •§5. Модель Вселенной с учетом центробежных сил (с-модель)
- •5.1. Уравнения, описывающие с-модель
- •5.2. Уравнения, описывающие λcdm - модель
- •5.3. О выборе параметров λcdm - и с - моделей
- •Постоянная Хаббла , критическая плотность
- •Параметры и
- •Параметры и
- •§6. О решениях уравнений, описывающих λcdm- и с – модели
- •6.1. О соотношении космологических сил притяжения и отталкивания в с- и λcdm- моделях
- •6.2. Сценарий эволюции Вселенной в λcdm- модели
- •6.3. Возможные варианты эволюции Вселенной в с- модели
- •§7 Интерпретация зависимости видимая звездная величина – красное смещение для сверхновых типа Ia
- •7.1. Зависимость видимая звездная величина – красное смещение
- •7.2. Зависимость в λcdm- модели
- •7.3. Зависимость в с- модели
- •§8 О равномерном расширении Вселенной
- •8.1. Постоянная Хаббла и время жизни Вселенной
- •8.2. Анизотропия реликтового излучения
- •8.3. Угловые размеры удаленных объектов
- •§9 Заключение
- •Приложения Приложение 1. Космологические уравнения а. А. Фридмана
- •Приложение 2. Обобщенные уравнения а.А. Фридмана и законы сохранения
- •Приложение 3. Динамика двухмерного однородного изотропного мира
- •Описание модели
- •Общие замечания
- •Системы координат
- •Динамика d – мира в сферической системе
- •Динамика d–мира в сопутствующей системе координат
- •О характере движения d–частиц
- •Космология d-мира
- •О ньютоновском приближении в космологии
- •Уравнение, описывающее радиальное движение d- мира
- •Список литературы
§7 Интерпретация зависимости видимая звездная величина – красное смещение для сверхновых типа Ia
Одним из эффективных способов проверки правильности космологической модели считается способ, основанный на сравнении теоретически рассчитанной в рамках модели и наблюдаемой зависимости: видимая звездная величина – красное смещение. [1,3,4]. В расчетах используется формула, определяющая соотношение между видимой яркостью и красным смещением для источника, чья абсолютная светимость предполагается известной. Приведем краткий вывод этой формулы.
7.1. Зависимость видимая звездная величина – красное смещение
В расширяющейся Вселенной длина волны фотона испущенного в момент времени t и его длина волны λ0, регистрируемая наблюдателем в момент времени t0, связаны соотношением:
. |
(7.1) |
Величины а и а0 определяют характерный размер Вселенной в момент времени t и t0, соответственно.
Красное смещение наблюдаемого объекта z определяется формулой:
. |
(7.2) |
Чем дальше находился объект, излучивший фотоны, тем дольше эти фотоны летели в расширяющейся Вселенной, тем больше отношение а0/a(t) и тем больше его красное смещение z ( ), см., например, стр. 131 [1].
Красное смещение z объекта – непосредственно измеримая величина. Измерение z сводится к идентификации линии или системы линий излучения (или поглощения) атомов и определению того, насколько они смещены в область длинных волн. Формулы (7.1) и (7.2) имеют общий характер и справедливы при любых z.
Предполагаем, что Вселенная является открытой, и используем метрику:
, |
(7.3) |
(см., например, §109 [22]). Основанием для такого предположения является следующее. В случае отсутствия космологических сил отталкивания, условием реализации замкнутой модели Вселенной является выполнение неравенства: . Оно выполняется, если плотность космической среды больше, чем критическая, см., например, [1, 2].
При учете сил отталкивания, значение параметра , при котором Вселенная может быть замкнутой, должно быть большим чем в случае их отсутствия, т.е. большим единицы.
В параметре содержится вклад двух составляющих: «барионной компоненты» и «темной материи». Оценка вклада «барионной компоненты», основанная на наблюдениях, показывает, что не меньше, чем 0.04÷0.05, см., например, [6, 7]. С другой стороны для интерпретации наблюдательных данных, в значительной степени основанной на использовании ΛCDM- модели, приходится предполагать, что количество «темной материи» не менее чем в пять-шесть раз превосходит количество видимой «барионной компоненты». В этой модели полагают, что значение параметра лежит в области [16-19]. Учитывая эти данные о величине параметра , а также то, что , заключают, что, плотность космической среды в современной Вселенной заметно меньше критической, а поэтому Вселенная является открытой. Это служит основанием для использования метрики (7.3) при описании геометрии Вселенной в ΛCDM-модели. В С-модели также предполагаем, что плотность космической среды в современной Вселенной заметно меньше критической и используем метрику (7.3).
В открытой Вселенной площадь сферы, через которую пролетают фотоны, испущенные источником, имеющим красное смещение z, определяется формулой:
, |
(7.4) |
где
. |
(7.5) |
Взяв за единицу измерения длины величину , запишем в безразмерном виде:
. |
(7.6) |
Плотность потока фотонов, падающих на приемник пропорциональна 1/S(z). Вследствие красного смещения энергия каждого регистрируемого фотона , отличается от энергии испущенного фотона . Эти энергии связаны соотношением:
. |
(7.7) |
Видно, что энергия каждого принимаемого фотона в раз меньше его энергии в момент испускания. Дополнительно видимая яркость объекта, имеющего красное смещение z, еще уменьшена на фактор . Это связано с тем, что единице времени приемника соответствует время излучателя, см., например, гл.3 [1]. Учитывая вышесказанное, формулу, определяющую видимую яркость E источника, имеющего абсолютную светимость L и красное смещение z, без учета поглощения и рассеяния фотонов, записываем в виде:
. |
(7.8) |
Астрономы используют не величину E, а звездные величины m. По определению:
. |
(7.9) |
Чтобы в зависимости m(z) выделить влияние факторов, определяющих эволюцию Вселенной, и исключить влияние фактора «абсолютная светимость наблюдаемого объекта», изучают объекты, имеющие предсказуемую светимость. Кроме звездной величины m для этих объектов вводится понятие абсолютной звездной величины M. Величина M это есть m при условии, что источник находится на расстоянии 10пк от наблюдателя. По определению:
, |
(7.10) |
где , .
Учитывая формулы (7.6), (7.8)- (7.10) находим:
. |
(7.11) |
Полагая, что , формулу (7.11) запишем в виде:
. |
(7.12) |
В зависимости (m-M)(z) влияние факторов, определяющих свойства наблюдаемых объектов исключены, и остается лишь зависимость от факторов, определяющих эволюцию Вселенной. Формулу (7.12) используем для теоретического расчета в рамках ΛCDM- и С- моделей зависимости (m-M)(z).
Чтобы найти функцию , входящую в (7.12), необходимо вычислить функцию , (см. (7.5), (7.6)). Покажем, что, функция однозначно связана с функцией , определяющей динамику Вселенной. Для фотона, движущегося к приемнику, который находится в начале системы координат , , , справедливо уравнение:
. |
(7.13) |
Отсюда находим
. |
(7.14) |
Знак минус взят потому, что рассматриваются лучи, приходящие к наблюдателю, находящемуся в начале системы координат.
Используя (7.2), от переменной t переходим к переменной z:
|
(7.15) |
и формулу (7.14) записываем в виде:
. |
(7.16) |
Отсюда находим функцию :
. |
(7.17) |
Точка над буквой здесь и далее обозначает дифференцирование по времени.
Функцию , определяющую , найдем из уравнений (5.24) и (5.32) для С- и ΛCDM- модели соответственно.