8.3. Угловые размеры удаленных объектов

Формула, определяющая угол , под которым виден объект, имеющий размер d и красное смещение z, может быть записана в виде:

,

(8.6)

см. 4,7 [7]. В этой формуле r(z) – расстояние до наблюдаемого объекта. Учитывая, что физический размер объекта, испускающего фотоны в момент времени равен , отношение , а , а также измеряя длины в единицах , (8.6) запишем в виде:

,

(8.7)

где , .

В ΛCDM- модели вычисляется по формуле (7.18). Для того, чтобы ΛCDM- модель давала правильное значение для углов, под которыми видны яркие пятна на однородном фоне реликтового излучения, приходится считать, что пространство является плоским и полагать параметр [6, 7]. Учитывая это, формулу (7.18) запишем в виде:

.

(8.8)

Параметры, входящие в (8.8) связаны соотношением:

,

(8.9)

см. (7.19). Параметр в ΛCDM- модели вычисляем по формуле:

.

(8.10)

В расчетах h полагаем равным 0.7. С учетом (8.9), (8.10), заключаем, что в (8.8) независимым является лишь один параметр. Удобно считать, что им является параметр .

В С- модели вычисляется по формуле (7.23). Независимыми параметрами, входящими в (7.23) являются , и (см. пункт 6.3). Приближение плоской Вселенной, когда полагается равным нулю, в С- модели не используется. Для этого, как мы полагаем, при наблюдениях объектов с нет оснований.

Если бы пространство было плоским и стационарным (евклидовым), а размер наблюдаемого объекта был d, то очевидно, что определяло бы угол, под которым этот объект в этом пространстве наблюдался бы с расстояния (считаем, что <<1).

Величина определяет расстояние, которое проходят фотоны за время . Величина определяет возраст Вселенной. Она достаточно точно определяет также время свободного движения фотонов после рекомбинации, поскольку время между Большим взрывом и рекомбинацией много меньше времени .

Угол будем обозначать величиной . Значок Е обозначает, что этот угол вычислен в приближении плоского стационарного евклидова пространства. С учетом обозначения формулы, определяющие углы в ΛCDM- и в С- модели, запишутся в виде:

,	(8.11)
.	(8.12)

Как видно из (8.7), для того, чтобы определить угол , необходимо знать величины и .

На рис.15.а) приведены графики функции для случаев (8.5). Видно, что значения при в рассматриваемых случаях отличаются существенно. Вычисление проводилось по формуле (7.23) для .

Графики зависимости для значений , рассчитанные в рамках ΛCDM-модели по формуле (8.8), приведены на рис.15.b). Приведенные графики построены для трех случаев. Им соответствуют следующие значения параметров ΛCDM-модели:

, , , ; , , , ; , , , .

(8.13)

Из рис.15.b) видно, что значения при для случаев (8.13) отличаются заметно.

Из рис.15.a) и 15.b) видно, что в области значений зависимости и выходят на насыщение и практически не зависят от z.

При расчетах угла считаем, что рекомбинация имела место при z=1100.

Время жизни Вселенной для каждого из рассматриваемых случаев (8.5), (8.13), находим из условия: . В расчетах полагаем, что современной Вселенной соответствует τ=0.

Возраст Вселенной, согласно С-модели, оказывается равным:

1.45·10^10 лет; 1.41·10^10 лет; 1.37·10^10 лет

(8.14)

для случаев 1), 2) и 3) (см. (8.5)), соответственно.

Согласно ΛCDM-модели соответствующие возрасты Вселенной оказываются равными:

1.51·10^10 лет; 1.42·10^10 лет ; 1.35·10^10 лет

(8.15)

для случаев 1), 2) и 3) (см. (8.13)), соответственно.

Расстояние d, входящее в формулу (8.6), существенным образом зависит от параметров модели. Согласно [32], [33], расстояние d определяется возрастом Вселенной в момент рекомбинации. Далее этот возраст обозначаем как . Этот возраст в каждом из рассматриваемых случаев (8.5) и (8.13) оказывается своим. Возраст находим из условия: . Считаем, что .

Возраст согласно С-модели оказывается равным:

2.56·10^6лет; 8.07·10^5лет; 4.04·10^5 лет

(8.16)

для случаев 1), 2) и 3) (см. (8.5)), соответственно.

Согласно ΛCDM-модели, возраст оказывается равным:

4.16·10^5 лет; 3.72·10^5 лет; 3.39·10^5 лет

(8.17)

для случаев 1), 2) и 3) (см. (8.13)), соответственно.

Размер d, определяющий расстояние между центрами соседних пятен в момент рекомбинации вычисляем по формуле:

.

(8.18)

Рис. 15. Зависимость в С-модели a) и в ΛCDM-модели b) при больших значениях z.

Учитывая (8.18), формулу (8.6), определяющую угол запишем в виде:

.

(8.19)

Используя эту формулу, находим углы для случаев (8.5) и углы для случаев (8.13). Они оказываются равными:

2.008; 1.285; 0.675

(8.20)

для случаев 1), 2) и 3) (см. (8.5)) С-модели и

1.004; 0.981; 0.963

(8.21)

для случаев 1), 2) и 3) (см. (8.13)) ΛCDM-модели. Значения углов приведены в градусах.

Наблюдения показывают, что характерное угловое расстояние между соседними яркими пятнами на равномерном фоне реликтового излучения равно одному градусу (с точностью до 2%) (см. [6],[7]). Из (8.21) видно, что ΛCDM-модель с параметрами 2) (см. (8.13)) достаточно точно определяет угловые размеры наблюдаемых пятен. Эти параметры ΛCDM-модели являются хорошими также и для объяснения наблюдений в области (см. §7).

Из (8.20) видно, что есть основания считать, что С-модель с правильно подобранными значениями параметров и , также даст правильное значение углового расстояния между яркими пятнами на равномерном фоне реликтового излучения.