Практична робота № 3.2

Розв’яжіть наведені задачі.

1. Із деякого листового матеріалу необхідно викроїти 200 заготовок типу А, 260 – типу В та 290 – типу С. При цьому можна застосовувати три способи розкрою. Кількість заготовок, отримуваних з кожного листа при кожному способі розкрою, зазначено в таблиці.

Тип заготовки	Спосіб розкрою
	1-й	2-й	3-й
А	3	2	1
В	1	6	2
С	4	1	5

Визначити, скільки листів повинно бути розкроєно першим, другим і третім способами

1. Запишемо в математичній формі умови виконання завдання: позначимо через x₁, x₂, x₃ кількість листів матеріалу, що розкроюються відповідно першим, другим і третім способами. Тоді при першому способі розкрою x₁ листів буде отримано 3x₁ заготовок типу А, при другому – 2x₂, при третьому – x₃. Для повного виконання завдання по заготовках типу А сума 3x₁ +2x₂ + x₃ повинна дорівнювати 200, тобто:

3x₁ + 2x₂ + x₃ = 200.

Аналогічно одержуємо рівняння: x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 260,

4x₁ + x₂ + 5x₃ = 290,

яким повинні задовольняти невідомі для того, щоб виконати завдання по заготовках В і С.

Отримана система лінійних рівнянь виражає в математичній формі умови виконання всього завдання по заготовках А, В, С.

2. Для розв’язання даної системи лінійних рівнянь у MathCAD найкраще використовувати матричний метод. Для цього сформуємо матрицю системи:

Тепер можна розв’язати систему матричним способом:

або викликати функцію lsolve( ):

або скористатися блоком given … find( ), записавши систему рівнянь:

або вставити з панелі Символіка ідентифікатор solve:

3. Для розв’язання цієї ж задачі в Excel варто скористатися матричними функціями МЗВОР і МПОМНОЖ:

Зверніть увагу, що діапазонам В3:D5 і F3:F5 присвоєні імена Норма й План відповідно.

4. Однак можна використовувати й інші, не такі традиційні, методи розв’язання. Наприклад, розв’яжемо систему рівнянь, використовуючи Пошук розв’язку Excel:

Скористаємося сервісом Пошук розв’язку:

У результаті одержимо:

5. Розв’яжемо цю ж систему рівнянь, використовуючи можливості символьних обчислень MathCAD.

Застосуємо для розв’язання нашої задачі символ «Дозволити змінні» з панелі інструментів Символіка. Цей символ (або ідентифікатор) називається solve.

Щоб розв’язати систему рівнянь щодо 3-х невідомих:

• натисніть кнопку Створити матрицю:

на Панелі інструментів Матриці, щоб уставити вектор, що складається із 3-х рядків і одного стовпця;

• заповніть позиції вектора рівняннями, що складають систему (використовуйте жирний знак рівності або Ctrl =);

• натисніть кнопку Дозволити змінні:

на Панелі інструментів Символіка. Позицію після solve заповніть вектором, що складається з позначень невідомих.

У результаті одержимо:

Перевірте правильність розв’язку.

2. Припустимо, що функція, яка характеризує валовий прибуток підприємства, має вигляд: де – валовий прибуток, – випуск продукції за період t. Спостереження охоплюють два періоди, для яких значення , наведені в таблиці:

Період t
1	10	100
2	20	150

1. Скласти систему рівнянь для визначення , , і розв’язати її.

2. Визначити всю сукупність функцій валового прибутку, що задовольняють даній системі рівнянь.

Розв’язання.

Оскільки спостереження охоплюють два періоди, то ми маємо систему з двох лінійних рівнянь, а кількість шуканих змінних – 3.

Сформуємо ці рівняння, використовуючи знак символьної рівності  (або Ctrl +). Для цього запишемо функцію валового прибутку у вигляді:

де за даними таблиці:

Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

Система сумісна і має незліченну множину розв’язків. Виберемо одну змінну як вільну. Нехай це буде змінна с. Змінні a, b – базисні. Виразимо базисні змінні через вільну змінну:

(тобто: , )

і

Тоді вся сукупність валового прибутку:

або

3. Застосування властивих векторів при розв’язанні економічних задач. Модель лінійного обміну (модель міжнародної торгівлі).

Структурна матриця торгівлі трьох країн S₁, S₂, S₃ має вигляд:

Знайти співвідношення національних доходів країн для збалансованої торгівлі.

Розв’язання.

Розглянемо теоретичну модель міжнародної торгівлі.

Нехай є n країн S₁, S₂,…, S_n, національний доход кожної з яких дорівнює відповідно x₁, x₂,…, x_n. Позначимо коефіцієнтами a_ij частину національного доходу, яку країна S_j витрачає на закупівлю товарів у країни S_i. Будемо вважати, що весь національний доход витрачається або на закупівлю товарів усередині країни, або на імпорт з інших країн, тобто:

Розглянемо матрицю:

яка одержала назву структурної матриці торгівлі.

З урахуванням попередньої рівності, сума елементів будь-якого стовпця матриці дорівнює одиниці.

Для будь-якої країни виторг від внутрішньої та зовнішньої торгівлі становитиме:

Для збалансованої торгівлі необхідна бездефіцитність торгівлі кожної країни , тобто виторг від торгівлі кожної країни повинен бути не меншим за її національний доход:

Якщо вважати, що , то одержимо систему нерівностей.

Склавши ліві й праві частини нерівностей, після групування запишемо:

З огляду на те, що вирази в дужках дорівнюють одиниці, приходимо до суперечливої нерівності:

Таким чином, нерівність неможлива, й умова набуває вигляду: , (з економічних міркувань це зрозуміло, тому що всі країни не можуть одночасно отримувати прибуток).

Уводячи вектор національних доходів країн, отримуємо рівняння:

,

тобто задача звелася до пошуку властивого вектора матриці А, що відповідає властивому значенню .

Відповідно до вищевикладеної теорії властивим значенням заданої матриці А є .

_{Перевіримо, чи} задовольняє характеристичному рівнянню

det(A–E) = 0, де

Знаходимо властивий вектор , що відповідає властивому значенню , розв’язуючи систему:

або іншим способом:

,

знаходимо, що x = C, y = 2C, z = 1,5C.

Отриманий результат означає, що для збалансованої торгівлі співвідношення національних доходів повинно бути 1:2:1,5 або 2:4:3.