Практична робота № 3.3

Міжгалузевий баланс суспільного продукту (МГБ).

1. Позначення й теоретичні положення:

x – матриця міжгалузевих потоків, де x_ij (i, j = 1,…,n) – обсяг продукції i-ої галузі, що надходить на виробничі потреби j-ої галузі;

n – загальне число галузей матеріального виробництва;

Y_i – обсяг кінцевої продукції i-ої галузі;

X_i – обсяг валової продукції i-ої галузі, що визначається як сума кінцевої та проміжної продукції:

(1)

Основним елементом математичної моделі міжгалузевого балансу «витрати-випуск» є квадратна матриця технологічних коефіцієнтів А=(a_ij). Числа a_ij показують, скільки продукції i-ої галузі необхідно затратити для виробництва одиниці продукції j-ої галузі безпосередньо у виробничому циклі j-ої галузі. Тому матрицю А називають матрицею прямих витрат.

Записана в матричній формі система балансів є системою лінійних рівнянь:

X = AX + Y (2)

Ця модель міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) пов’язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для згідного розрахунку цих розмірів.

Якщо розміри X_i, Y_i та x_ij виміряні в натуральних одиницях, то говорять про моделі міжгалузевого балансу в натуральному вираженні, якщо у вартісному, то про модель у вартісному вираженні. Позначимо через р=(p₁, p₂,…,p_n) набір цін на продукцію відповідних галузей, а зірочкою * – виміри, зроблені по вартості. Тоді зв’язок між показниками моделей у вартісному й натуральному вираженні:

X_j^* = p_j X_j x_ij^* = p_i x_ij Y_i^* = p_i Y_i. (3)

Отже,

a_ij^* = x_ij^* / X_j^* = (p_i / p_j) a_ij. (4)

Для того щоб за даним вектором кінцевого випуску Y знайти вектор валового випуску X, необхідно розв’язати систему рівнянь:

X – AX = Y. (5)

З економічних міркувань усі коефіцієнти матриці прямих затрат A невід’ємні, тобто A  0. Невід’ємні також компоненти заданого вектора Y  0. Розв’язок X, що має бути знайденим, за змістом також повинен мати невід’ємні компоненти, тобто потрібний X  0.

Якщо існують два такі вектори Y > 0 та X  0, що X – AX = Y, то матрицю A називають продуктивною. Продуктивність матриці означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами. Цей випуск у випадку продуктивності матриці А може бути знайдений як розв’язок системи (5):

X = (E – A)^-1Y. (6)

Матриця (Е – A) –¹ називається матрицею повних витрат.

Існує декілька критеріїв продуктивності матриці А. Однією з умов продуктивності невід’ємної квадратної матриці A є невід’ємність матриці повних витрат, тобто виконання умови (Е – A) ^–1  0.

Крім цього, продуктивність матриці можна визначити, знайшовши всі її властиві значення, які у випадку продуктивності матриці повинні бути за модулем меншими за одиницю.

Можна скористатися й таким критерієм: матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її стовпців не перевищує одиниці (причому хоча б для одного стовпця сума його елементів строго менша за одиницю).

1. Умова задачі.

Дані: матриця міжгалузевих зв’язків x у натуральному вираженні; вектор р цін продукції галузей і вектор кінцевої продукції Y.

Необхідно:

• визначити, чи є матриця коефіцієнтів прямих затрат A в натуральному вираженні продуктивною, і зробити висновок про можливості випуску продукції;

• перейти від натуральної форми моделі до вартісної й визначити, чи є вартісна матриця коефіцієнтів прямих витрат продуктивною;

• у випадку продуктивності розрахувати валовий обсяг випуску.

Послідовність обчислень та аналізу результатів:

1. За заданою матрицею міжгалузевих зв’язків та вектором кінцевої продукції розрахувати валовий випуск (формула 1).

2. За заданим вектором цін та векторами кінцевої й валової продукції розрахувати матрицю міжгалузевих зв’язків у вартісному вираженні, а також вартісні вектори кінцевої продукції й валового випуску (формули 3).

3. Розрахувати матрицю прямих витрат у натуральному й вартісному вираженнях (формули 4).

4. Розрахувати матрицю повних витрат у вартісному й натуральному вираженнях і зробити висновок про продуктивність або непродуктивність матриці A.

5. У випадку продуктивності матриць розв’язати систему рівнянь (5), розрахувавши обсяг валової продукції (6).