Тема 7. Полифазная интерполяция и децимация

Идея полифазного представления сигналов

Смысл полифазного представления сигналов заключается в том, что последова­тельность отсчетов разделяется на N фаз (phase), сдвинутых друг относительно друга и имеющих пониженную в N раз частоту дискретизации.

Из рис. 10.7 видно, что последовательность отсчетов n-й фазы можно записать как

x_n(k) = {..., x(n-N),x(n),x(n + N),...}={x(kN + n)}.

Выясним, как связаны друг с другом z-преобразования исходного сигнала и от­дельных его фаз. Это несложно сделать, воспользовавшись свойствами z-преобразования (см. соответствующий раздел главы 3). Пусть X_n(z) — z-преобразование последовательности, соответствующей n-й фазе:

Чтобы получить из отдельных фаз исходную последовательность, необходимо вставить между их отсчетами по N - 1 нулей, задержать каждую фазу на число отсчетов, соответствующее ее номеру (0, 1, ..., N - 1) и суммировать результаты. Согласно свойствам z-преобразования, указанная вставка нулей соответствует замене аргумента с z на z^N а задержка приведет к умножению z-преобразования на z^-n. В итоге получаем искомую формулу связи:

(10.1)

В следующих разделах мы воспользуемся этой формулой для математического описания процессов, происходящих в многоскоростных системах. На рис. 10.8 показана структура системы, «разбирающей» сигнал на отдельные фазы, а затем «собирающей» его обратно. На этом рисунке следует обратить внимание на нумерацию фаз внутри схемы, а также на их задержки. Кроме того, необходимо отметить, что последовательное выполнение операций разделения сигнала на фазы и его обратной сборки приводит к результирующей задержке, равной N отсчетам.

Полифазная реализация процесса интерполяции

Сигнал, подвергаемый фильтрации в схеме интерполяции, показанной ранее на рис. 10.6, содержит большое количество нулевых значений. Умножение этих ну­лей на коэффициенты импульсной характеристики фильтра в процессе расчета свертки — совершенно непроизводительная трата вычислительных ресурсов. Попробуем ликвидировать эти «лишние» операции, реорганизовав процесс вы­числений. Для этого прежде всего установим связь между z-преобразованиями входного и интерполированного сигналов.

Вывод соответствующего соотношения несложен — достаточно воспользоваться свойствами z-преобразования (см. главу 3), касающимися вставки нулей и дис­кретной свертки (формула (3.27)). В результате получаем следующее:

Y(z) = X(z^N)H(z). (10.2)

Теперь представим функцию передачи ФНЧ H(z) в полифазном виде согласно формуле (10.1):

(10.3)

Здесь

и т.д. – функции передачи частичных фильтров, полученных путем разделения исходной импульсной характеристики на отдельные фазы. Импульсная характеристика n-го частичного фильтра получается путем выборки из исходной импульсной характеристики каждого N-го отсчета, начиная с n-го.

Переписав (10.2) с учетом (10.3), получаем

(10.4)

где - результат обработки входного сигнала n-м частичным фильтром.

Формула (10.4) показывает, что обработка входного сигнала частичными фильтрами может производиться на исходной частоте дискретизации, а повышение частоты дискретизации путем вставки нулей осуществляется на выходах частичных фильтров.

В результате получаем следующую схему (рис. 10.9), называемую полифазной реализацией процесса интерполяции. В данном случае мы заменяем один фильтр, работающий на повышенной частоте дискретизации, набором из N фильтров, работающих на исходной частоте дискретизации.

Вставка нулей теперь производится после фильтрации, так что от незначащих операций мы избавились. Однако при реализации системы непосредственно по схеме рис.10.9 избыточными оказываются операции сложения – ведь при вычислении каждого отсчета выходного сигнала ненулевое значение присутствует только на одном из входов сумматора.

По сути дела, блоки вставки нулей и элементы задержки на рис. 10.9 образуют мультиплексор — на выходах частичных фильтров одновременно появляются N значений интерполированного сигнала, которые поочередно подаются на вы­ход, что и обеспечивает повышение частоты дискретизации. Соответствующий вариант схемы, который обычно и используется при практической реализации интерполяции, показан на рис. 10.10.

Полифазная реализация процесса прореживания

Из выходного сигнала фильтра в схеме прореживания, показанной ранее на рис. 10.3, выбрасывается часть отсчетов, что делает ненужными вычислительные операции, затраченные на их расчет. Ликвидируем эти непроизводительные за­траты, реорганизовав процесс вычислений.

Для этого, как и при рассмотрении интерполяции, выявим связь между z-преобразованиями входного и выходного сигналов. Однако, поскольку процесс выбор­ки каждого N-гo отсчета не имеет простого описания в z-области, начнем с того, что представим z-преобразование входного сигнала в полифазном виде согласно формуле (10.1):

где

и т. д..— z-преобразования отдельных фаз входного сигнала.

Кроме того, импульсную характеристику ФНЧ также представим в полифазном виде согласно приведенной ранее формуле (10.3). В результате z-преобразование входного сигнала, пропущенного через ФНЧ, можно представить в следующей форме:

Преобразуем произведение сумм в двойную сумму:

(10.5)

Стоящий после ФНЧ блок понижения частоты дискретизации, согласно рис. 10.8, выделяет из сигнала его фазу с нулевым номером. Эту фазу образуют отсчеты с номерами, кратными N, поэтому для получения z-преобразования выходного сигнала необходимо выделить в (10.5) слагаемые, у которых степень z кратна N. Это имеет место в следующих ситуациях:

• п₂= п₁=0

• п₂ = N - п₁ для п₁ = 1, 2, ..., N - 1.

В итоге, после замены z^N на z, отражающей понижение частоты дискретизации в N раз, мы получаем следующее выражение для z-преобразования выходного сигнала:

Сопоставляя эту формулу с рис. 10.8, мы получаем схему, показанную на рис. 10.11 и называемую полифазной реализацией процесса прореживания. Как и при интерполяции, мы заменяем один фильтр, работающий на исходной (высокой) час­тоте дискретизации, набором из N фильтров, работающих на выходной (пони­женной) частоте дискретизации.

Отбрасывание лишних отсчетов теперь производится до выполнения фильтра­ции, так что от операций по их расчету мы избавились. Осталось заметить, что роль элементов задержки и блоков понижения частоты дискретизации в данной схеме состоит в том, чтобы обеспечить одновременную подачу «кадра» из N от­счетов входного сигнала на входы частичных фильтров. Это можно реализовать. с помощью демультиплексора, осуществляющего необходимую коммутацию вход­ного сигнала. Соответствующий вариант схемы, который обычно и используется при практической реализации прореживания, показан на рис. 10.12. В данной структуре имеется в виду, что результаты фильтрации сохраняются на выходах частичных фильтров в течение всего цикла коммутации, чтобы обеспечить пра­вильное сложение выходных сигналов.

Задача:

1. Произвести полифазную интерполяцию.

– исходный сигнал

– фильтр, используемый при интерполяции

	L  L = 3
	y0 = 0,3333; 0,8333; 0,6667; 0,8333
	y1 = 0,6667; 0,6667; 0,8333; 0,6667
	y2 = 1; 0,5; 1; 0,5

y=0,3333; 0,6667; 1; 0,8333; 0,6667; 0,5; 0,6667; 0,8333; 1; 0,8333; 0,667; 0,5

2. Произвести полифазную децимацию.

– исходный сигнал

– фильтр, используемый при децимации

L  L = 3

y₀ = 0,3333; 0,8333; 0,6667; 0,8333

y₁ = 0,3333; 0,8333; 0,6667; 0,8333

y₂ = 1; 0,5; 1; 0,5

y = 1,667; 2,1667; 2,3333; 2,1667

(Примечание: )