- •Рецензенты:
- •Предисловие
- •Раздел первый Краткий справочник по математике
- •Алгебра Модуль действительного числа
- •Степени и корни
- •Логарифмы
- •Многочлены
- •Квадратный трехчлен, квадратное уравнение
- •Системы линейных уравнений (слу)
- •Прогрессии
- •Тригонометрия Тригонометрическая окружность
- •Тождества связи функций одного аргумента1
- •Квадратичная функция
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Производная функции
- •Правила дифференцирования
- •Правильные многоугольники
- •Четырехугольники
- •Окружность
- •Объемы и поверхности тел
- •Метод координат на плоскости
- •Комбинаторика и вероятность Основные комбинаторные схемы и формулы
- •Вероятность случайного события
- •Раздел второй Сборник заданий к занятиям по подготовке к егэ
- •Тема 2. Планиметрия (8 ч). Задания на вычисление элементов прямоугольного треугольника, вычисление площади плоской фигуры. Задачи в координатах, применение векторов к решению задач.
- •Тема 5. Функции. Производные (8 ч). Чтение графика функции. Производная. Исследование функций с помощью производной.
- •Тема 6. Уравнения и неравенства (8 ч). Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Комбинированные уравнения и неравенства.
- •Тема 7. Стереометрия (8 ч). Площади поверхностей и объемы многогранников и тел вращения.
- •Текстовые задачи Занятие 1
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 2
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 3
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 4
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Планиметрия Занятие 5
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 6
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 7
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 8
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Тригонометрия Занятие 9
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 10
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 11
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 12
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Корни, степени, логарифмы Занятие 13
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 14
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 15
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 16
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Функции. Производная Занятие 17
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 18
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 19
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 20
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Уравнения и неравенства Занятие 21
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 22
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 23
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 24
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Стереометрия Занятие 25
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 26
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 27
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 28
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Комбинаторика и вероятность Занятие 29
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 30
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 31
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Занятие 32
- •Часть 1. Аудиторная работа
- •Часть 2. Самостоятельная работа
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Горев Павел Михайлович Воловицкая Мария Олеговна Математика. Курс подготовки к егэ
- •610002, Г. Киров, ул. Красноармейская, 26
Производная функции
Производной функции в точке называется число равное .
Таблица производных основных элементарных функций
Формула |
Ограничения |
|
Формула |
Ограничения |
|
|
|
|
|
|
или , или |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования
Для непрерывных, определенных и дифференцируемых на интервале функций и справедливы правила дифференцирования:
, где – константу (постоянный множитель) можно выносить за знак производной;
– производная суммы равна сумме производных;
– производная произведения равна сумме произведений производной одной функции на другую;
– производная частного;
– производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней.
Физический смысл производной
Пусть – зависимость пути от времени, тогда (скорость есть производная пути по времени) и (ускорение есть производная скорости по времени).
Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
П усть в системе координат изображен график некоторой функции . Касательная к нему в точке есть прямая, задаваемая уравнением:
.
Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Первообразная функции и интеграл
Функция называется первообразной для функции , если . Множество всех первообразных функции для , где – произвольная константа, называется интегралом от функции и обозначается .
Три правила нахождения первообразных
Если есть первообразная для , а – первообразная для , то есть первообразная для .
Если есть первообразная для , а – постоянная, то функция – первообразная для .
Если есть первообразная для , а и – постоянные, причем , то есть первообразная для .
Таблица первообразных
|
|
Ограничения |
|
|
|
|
|
или , или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
Определенный интеграл
Если – произвольная непрерывная первообразная функции на отрезке , то определенным интегралом от функции вдоль отрезка называется число, равное разности .
Площадь криволинейной трапеции
Ф игура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми , , называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле .
Основные метрические соотношения планиметрии
Т реугольник
Введем для треугольника обозначения: , , , – медиана, биссектриса и высота соответственно, проведенные к стороне , – периметр, – полупериметр, – площадь треугольника, и – радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей.
Для треугольника справедливы соотношения для нахождения его площади:
,
,
,
,
,
,
.
В произвольном треугольнике имеют место соотношения:
– теорема синусов;
– теорема косинусов;
– длина медианы;
– длина высоты;
– длина биссектрисы.
В правильном треугольнике со стороной можно использовать формулы:
,
,
.
В прямоугольном треугольнике с катетами , гипотенузой и высотой , проведенной к гипотенузе и делящей ее на отрезки и , справедливы соотношения:
,
,
,
.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .