СеверинВП ДУ первого порядка

из которого неизвестная функция y(x) находится интегрированием

y f (x)dx ,

где слева стоит неопределенный интеграл. Если функция f (x) имеет первообразную (x) , то y (x) C .

В этом простейшем случае решение содержит произвольную постоянную C , которая может быть определена, если задать начальное условие

		y(x0 ) y0	или	y	x x0 y0 ,	(1.7)
где	x0 и y0	– некоторые числа, то есть при некотором значении x0
независимой		переменной x	заранее	задано значение		y0 искомой
функции y(x) .
	Геометрически начальное условие (1.7) означает, что на плоско-
сти	Oxy задана точка M0 (x0 , y0 ) , через которую должна проходить

искомая интегральная кривая. При таком начальном условии решение уравнения (1.6) можно представить в виде

x

y f (x)dx y0 .

x0
Рассмотрим уравнение (1.5). Пусть	D f – область определения
функции f (x, y) на плоскости Oxy .	Возьмём	некоторую точку
(x0 , y0 ) Df и вычислим значение функции в ней		f0 f (x0 , y0 ) . В

соответствии с исходным дифференциальным уравнением получим

значение производной неизвестной функции y(x)				в заданной точке, то
есть y	f	0	. Поскольку производная функции	определяет угловой
0

коэффициент наклона касательной к графику этой функции в данной

точке, то тем самым определим угловой коэффициент k	0	y	каса-
		0

11

тельной к той интегральной кривой уравнения, которая проходит через точку (x0 , y0 ) , что показано на рис. 1.1.

Возьмем

теперь

другую

точку

(x1, y1) Df и вычислим для нее величи-

y

ну y

y (x ) f (x , y ) .

Это есть коэф-

y1

1

1

1

1

фициент наклона

касательной

k

y к

y0

1

1

интегральной кривой, проходящей через

эту новую точку.

Точно так же,

выбирая

O

x0

x1

x

новые

точки

в

области

D f ,

получим

множество элементарных «кусочков» ин-	Рис. 1.1

тегральных кривых этого уравнения, проходящих через взятые точки. Геометрический смысл дифференциального уравнения (1.5) за-

ключается в том, что оно устанавливает зависимость между координатами точек интегральной кривой M (x, y) и значением производной y , то есть в каждой точке определяется направление касательной к искомой интегральной кривой.

Таким образом, уравнение (1.5) определяет поле направлений, и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, направления касательных к которым в каж-

	дой точке совпадают с направлением поля.
	Каждая из		интегральных	кривых
	представляет собой график решения ис-				y
	ходного	дифференциального уравнения
	(рис. 1.2).	Найти	решение уравнения с		y0
	начальным условием (1.7) геометрически
	означает выделение из множества инте-
	гральных	кривых той кривой,		которая	O	x0	x
	проходит через точку (x0 , y0 ) .			Всё мно-
	жество интегральных кривых представля-					Рис. 1.2
	ет общее решение дифференциального уравнения.
	При	графическом представлении решения				дифференциального

12

уравнения часто пользуются изоклинами. Изоклиной называется геометрическое место точек, для которых производная некоторой функции y(x) имеет одно и то же значение. Уравнение изоклины имеет вид

y k . Для дифференциального уравнения (1.5) изоклины представ-

ляются равенством f (x, y) k . Графический метод решения дифференциального уравнения с помощью изоклин используется в том случае, когда аналитическое решение невозможно.

1.4. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

называется уравнение первого порядка вида (1.5), где

	y		(x)	.		(1.8)
			( y)
Выразим производную y через дифференциалы
	dy		(x)			,
			( y)
	dx

откуда

( y)dy (x)dx .

Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Возьмем неопределенный интеграл от обеих частей этого уравнения

( y)dy (x)dx .

Пусть ( y) и (x) – первообразные подынтегральных функций ( y) и (x) . Тогда

( y) (x) C ,

где C – произвольная постоянная. Таким образом, решение уравнения (1.8) находится с точностью до произвольной постоянной C .

13

П р и м е р 1 . 1 . Решить дифференциальное уравнение

		y				2 y		.			(1.9)
							x
Р е ш е н и е . Перепишем это уравнение,											выражая производную
y через дифференциалы
		dy					2 y		.
		dx					x
Разделим переменные
	dy					2dx				.
		y					x

Возьмем несобственные интегралы от обеих частей

dyy 2 dxx .

Имеем

ln y 2ln x ln C .

Потенцируя это равенство, окончательно получим решение y Cx2 .

Таким образом, уравнению (1.9) удовлетворяет бесчисленное множество парабол, изображенных на рис. 1.3.

Кроме представленной формы (1.8) уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны и в дифференциальной форме

P(x)Q( y)dx R(x)S( y)dy 0 .

Отсюда получим, что

dy P(x)Q( y) , dx R(x)S( y)

y

x

Рис. 1.3

14

или по свойству дробей

P(x)

dy

R(x)

,

S( y)

dx

Q( y)

что приводит к виду (1.8) при

(x)

P(x)

,

(x)

S( y)

.

R(x)

Q( y)

Большинство интегрируемых дифференциальных уравнений первого порядка путём алгебраических преобразований приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Этот тип уравнений является базовым.

Рассмотрим пример замены переменных, приводящий к уравнению вида (1.8). Пусть дано дифференциальное уравнение

y f (ax by c) ,	(1.10)
где a , b и c – некоторые числа. Введем переменную	z ax by c .

Дифференцируя это равенство по переменной x , получим z a by , откуда

	y		z a	.
			b
Исключая y и y из исходного уравнения (1.10), имеем
	z a		f (z) ,
	b
откуда
z bf (z) a .					(1.11)

Правая часть этого уравнения зависит только от z , значит это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение сводится к преобразованиям:

15

dz	bf (z) a ,	dz	dx ,		dz	x C .
dx		bf (z) a			bf (z) a

Обозначим первообразную функции 1 [bf (z) a] через G(z) . Тогда интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1.11) имеет вид

G(z) x C .

Переходя к исходным переменным, имеем решение исходного уравне-

ния (1.10)

G(ax by c) x C .

1.5. Общее и частные решения дифференциального уравнения

Рассматривая простейшее дифференциальное уравнение (1.6) и уравнения с разделяющимися переменными вида (1.8), мы получили для них решение, которое включает не только переменные x и y , но

и произвольную постоянную C . То есть, решение этих уравнений можно представить в виде

G(x, y,C) 0 .

(1.12)

Этот факт имеет место для всех уравнений первого порядка вида (1.4) или (1.5). Решение уравнения первого порядка, содержащее произвольную постоянную C , называется общим решением дифференциального уравнения.

При конкретном значении произвольной постоянной C C* получим частное решение дифференциального уравнения

G(x, y,C*) 0 .

(1.13)

Изменяя значение C , будем получать различные частные решения. Таким образом, общее решение (1.12) является множеством всех частных решений вида (1.13). Для нахождения из общего решения

16

конкретного частного решения задают начальное условие вида (1.7)

y(x0 ) y0 или y x x0 y0 ,

где x0 и y0 – некоторые числа.

Если общее решение известно, то чтобы определить частное решение аналитически, необходимо подставить начальное условие в общее решение (1.12)

G(x0 , y0 ,C) 0 .

Из полученного уравнения необходимо вычислить значение произвольной постоянной C C0 . Если это возможно, то, подставляя найденное значение C в общее решение (1.12), получим то частное решение, которое удовлетворяет начальному условию

G(x, y,C0 ) 0 .

(1.14)

С геометрической точки зрения общее решение (1.12) представляет собой семейство интегральных кривых (рис. 1.2). Найти частное решение (1.14), удовлетворяющее начальному условию, значит выделить из множества интегральных кривых ту кривую, которая проходит через точку (x0 , y0 ) .

П р и м е р 1 . 2 . Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

xy y 0 .

Р е ш е н и е . Перепишем уравнение, выражая производную y через дифференциалы

dydx xy .

Разделим переменные

dyy dxx .

17

Возьмем несобственные интегралы от обеих частей

dy

dx

.

y

x

Имеем

ln

ln

ln

y

x

C

.

Таким образом, общее решение имеет вид

y

C

.

x

Геометрически оно представляет семей-

ство гипербол,

показанное на рис. 1.4.

y

Зададим начальное условие

y

x 3 2 .

Отсюда C 6 ,

O

x

а значит искомое частное

решение

6					Рис. 1.4
y x .
Зададим теперь начальное условие
		y	x 0 4 .
Получим
		4		C	,
				0

откуда видно, что соответствующее значение C найти нельзя. Такое начальное условие не является допустимым. Действительно, через точку (0;4) не проходит ни одна из интегральных гипербол.

В разделе 3 будут сформулированы условия, при которых уравнение (1.5) имеет частное решение, удовлетворяющее начальному условию (1.7), и притом это решение единственно.

18

Введенное в этом подразделе понятие общего решения также будет уточнено в разделе 3.

Практическое занятие

Т е м а з а н я т и я .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Ц е л ь з а н я т и я .

Изучить методы нахождения общего и частных решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

А у д и т о р н о е з а н я т и е .

1. Найти общие решения уравнений с разделяющимися перемен-

ными:

1)

xyy 1 x2 ;

2)

y tg x y 1 ;

xy y y2 ;

3)

4)

1 y2 dx y 1 x2 dy 0 .

2. Найти частные решения уравнений с разделяющимися пере-

менными:

1 y

2

1)

y

,

y

x 0 1 ;

1

x

2

x 0

2)

sin y cos xdy cos y sin xdx ,

y

.

4

С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а .

1. Найти общие решения уравнений с разделяющимися перемен-

ными:

1)

(xy 2 x)dx ( y x2 y)dy 0 ;

2) yy

1 2x

;

y

3)

y

1 y2

0 ;

4) y 10x y .

1 x2

2. Найти частные решения уравнений с разделяющимися переменными:

19

1) y sin x y ln y ,			e ;
	y	x
			2

2) y xy 2(1 x2 y ) ,	y		x 1	1 .

Контрольные вопросы

1.Какие практические задачи приводят к дифференциальным уравнениям?

2.Что является предметом изучения в теории дифференциальных уравнений?

3.Какие ученые являются основоположниками теории дифференциальных уравнений?

4.С какими прикладными науками связана теория дифференциальных уравнений?

5.Все ли дифференциальные уравнения допускают аналитическое решение?

6.Дать определение дифференциального уравнения.

7.Какое дифференциальное уравнение называется обыкновен-

ным?

8.Дать определение уравнения в частных производных.

9.Как определяется порядок дифференциального уравнения?

10.Дать определение решения дифференциального уравнения.

11.Что понимают под интегрированием дифференциального уравнения.

12.Запишите обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка в общем виде и раскройте смысл всех входящих в уравнение величин.

13.Дать определение интегральной кривой дифференциального уравнения.

14.Записать дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде и раскрыть смысл всех входящих в уравнение величин.

15.Записать дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

20