СеверинВП ДУ первого порядка

t t(x)

y (t) dxdt x (t) (t) dxdt .

Учитывая, что y t , имеем

t [ (t)x

Отсюда получим

dxdt

	(t)]	dt	(t) .	(4.6)
		dx

t (t)(t)x (t) .

Полагая, что t (t) 0 , перепишем это дифференциальное уравнение в виде

	dx			(t)		x		(t)	,
	dt			t (t)				t (t)
то есть
	dx			(t)		x		(t)		.
			(t) t
	dt							t (t)
Это линейное дифференциальное уравнение для функции x(t) .
Интегрируя его, получим
				x g(t,C) .

Подставляя это в (4.5), запишем вместе с последним равенством общее решение уравнения Лагранжа (4.4) в параметрическом виде:

x g(t,C),

y (t)g(t,C) (t).

При определении этого	общего решения	мы полагали, что
t (t) 0 . Пусть теперь t0	– корень уравнения	t (t) 0 . Таких

корней может быть и несколько. В этом случае (t0 ) t0 и уравнение

(4.6) имеет решение t(x) t0 . Подставляя это в (4.5), получим

81

y (t0 )x (t0 ) ,

то есть

y t0 x (t0 ) .

Эта функция также является решением исходного уравнения. Это решение, вообще говоря, особое, однако в ряде случаев оно может быть

иобщим.

Пр и м е р 4 . 4 . Решить уравнение

yy 2 x y 2 .

Ре ш е н и е . Полагаем y t . Тогда

y t 2 x t 2 t 2 (x 1) .

Дифференцируя это равенство по переменной x , имеем

t 2t dxdt (x 1) t 2 .

Если t 0 , то

2dxdt (x 1) 1 t .

Вданном случае нет надобности приводить уравнение к виду dxdt , так как при t 1 сразу возможно разделение переменных

2

dt

dx

.

1 t

x 1

Интегрируя это равенство, получим

2ln

1 t

ln

x 1

2ln

C

,

то есть

2ln

ln

x 1

2ln

1 t

C

.

Следовательно,

82

C 2t 2

	(1 t)2	C 2		,	x 1	C 2	,	x	C 2	1 .
		x 1				(1 t)2			(1 t)2

Поскольку y t 2 (x 1) , то из предыдущего равенства имеем

y (1 t)2 .

Итак, общее решение получено в параметрическом виде:

C 2

x

1,

(1 t)2

C 2t

2

y

.

(1 t)2

В данном случае параметр t

можно исключить. Имеем:

(1 t)2

C 2

,

1 t

C

,

t

C

1 .

x 1

x 1

x 1

Следовательно,

C

2

x 1

C

2

y C 2

1

,

y

1

(x 1) ,

2

x 1

C

x 1

то есть

y (

x 1 C)2 .

Это и есть общее решение исходного дифференциального уравне-

ния Лагранжа.

Обратимся теперь к случаям, когда

t 0 и t 1.

Эти числа для

данного примера

являются

корнями уравнения

t (t) 0 . Корню

t 0 отвечает решение

y 0 , а для корня

t 1

получим y x 1.

Первое решение является особым, а второе – частным, так как оно появляется из общего решения при значении C 0 .

83

4.3. Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

y y x ( y ) .

(4.7)

Формально оно является частным случаем уравнения Лагранжа (4.4) при ( y ) y . Полагая t y , получим

		y xt (t) .					(4.8)
Дифференцируя это равенство по переменной x , имеем:
y t x	dt	(t)	dt	,	t t	dt	[x (t)] ,
	dx		dx			dx

то есть

dxdt [x (t)] 0 .

Отсюда следует, что либо dtdx 0 , либо x (t) .

В первом случае t(x) C , и подстановка в равенство (4.8) дает

y Cx (C) .

(4.9)

Итак, общее решение уравнения Клеро (4.7) сразу получается из этого уравнения, если заменить в нем y на C . Геометрически решение (4.9) представляет собой однопараметрическое семейство прямых.

Во втором случае, подставляя равенство x (t) в уравнение

(4.8), получим

y t (t) (t) .

Убедимся, что система равенств

84

x (t),
	(4.10)
	y t (t) (t),

также дает решение уравнения Клеро (4.7) в параметрическом виде. Имеем из (4.10):

dx (t)dt ,

dy [ (t) t (t) (t)]dt t (t)dt .

	Следовательно,
	y	dy		t (t)dt	,	(4.11)
		dx		(t)dt

то есть y t .

Подставляя x , y и y в исходное уравнение (4.7), получим тож-

дество

t (t) (t) (t) t (t) .

Решение, которое дается равенствами (4.10), не может быть получено из общего решения (4.9), поэтому оно является особым решением. В то время, как общее решение представляет собой семейство прямых, то особое решение (4.10) представляет собой огибающую этого семейства. Действительно, если семейство прямых (4.9) имеет огибающую, то она находится путем решения системы (3.12), то есть исключения C из системы уравнений:

y Cx (C),

0 x (C).

Аэта система равносильна системе (4.10).

Пр и м е р 4 . 5 . Решить дифференциальное уравнение Клеро

y xy y1 .

85

Р е ш е н и е . Сразу запишем общее решение этого уравнения

y Cx C1 .

Найдем огибающую этого семейства:

		y Cx		1		,
				C
			1
		0 x			;
			C	2

Отсюда получим

y 2x .

	C		1						,
					x
			1
	y						x x.
				x

Итак, особое решение существует	y
и имеет уравнение параболы
y2 4x .
	x
Эта парабола является огибающей
для семейства прямых, соответствую-
щего общему решению исходного

уравнения (рис. 4.1).	Рис. 4.1
П р и м е ч а н и е .	Выражение (4.11) теряет смысл при (t) 0 .

В этом случае (t) a , значит (t) at b . Здесь a и b – некоторые числа. Применение формул (4.10) дает:

x a,			x a,
	y at at b;		y b.

86

В этом случае в виде особого реше-	y
ния имеем единственную точку (a, b)
(рис. 4.2). Учитывая, что (C) aC b ,	b
на основании уравнения (4.9), будем
иметь y Cx Ca b , то есть
a	O	x

y b C(x a) .

Рис. 4.2

Итак, если функция (t) линейная,

то общее решение уравнения Клеро определяет пучок прямых, а особое решение вырождается в одну единственную особую точку

(рис. 4.2).

Практическое занятие

Т е м а з а н я т и я .

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

Ц е л ь з а н я т и я .

Изучить методы решения дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенные относительно производной.

А у д и т о р н о е з а н я т и е .

1. Решить дифференциальные уравнения методом введения параметра:

1)	y y 3 y ;	2)	x	1			y 2 .
					y
2. Решить уравнения Лагранжа:
1)	y 2xy 4y 3 ;	2)	y 2xy 2 2y 3 .
3. Решить уравнения Клеро:
1)	y xy 3y 3 ;	2)	y xy (2 y ) ;
3)	xy y ln y ;	4)	y xy 1 y 2 .

87

С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а .

1. Решить дифференциальные уравнения методом введения параметра:

						1
1)	y	y y 2 ;		2)	x y 3					.
								y
2. Решить уравнения Лагранжа:
1)	y yy 2 2xy ;			2)	y x(1 y ) y 2 .
3. Решить уравнения Клеро:
	y xy y 2 ;
1)				2)	y xy 1 y 2 ;
3)	y xy sin y ;			4)	y ln(xy y) .

Контрольные вопросы

1.Запишите общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной.

2.Приведите общий вид дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит аргумента и функции.

3.Дайте метод решения дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит аргумента и функции.

4.В какой форме представляется общее решение дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит аргумента и функции?

5.Приведите общий вид дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит аргумента и разрешимо относительно функции.

6.Дайте метод решения дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит аргумента и разрешимо относительно функции.

7.В какой форме представляется общее решение дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит аргумента и разрешимо относительно функции?

88

8.Запишите общий вид дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит функции и разрешимо относительно аргумента.

9.Приведите метод решения дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит функции и разрешимо относительно аргумента.

10.В какой форме представляется общее решение дифференциального уравнения первого порядка, которое не содержит функции и разрешимо относительно аргумента?

11.Дать определение уравнения Лагранжа.

12.Объяснить принцип решения уравнения Лагранжа.

13.К какому типу дифференциального уравнения сводится решение уравнения Лагранжа?

14.В какой форме представляется общее решение уравнения Ла-

гранжа?

15.Как найти особое решение уравнения Лагранжа?

16.Дать определение уравнения Клеро.

17.Чем отличается уравнение Клеро от уравнения Лагранжа?

18.Объяснить принцип решения уравнения Клеро.

19.В какой форме представляется общее решение уравнения Кле-

ро?

20.Что представляет собой геометрически общее решение уравнения Клеро?

21.Как найти особое решение уравнения Клеро?

22.Что представляет собой геометрически особое решение уравнения Клеро?

23.В каком случае общее решение уравнения Клеро геометрически представляет собой пучок прямых?

24.Перечислите все изученные типы дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенные относительно производной и допускающие интегрирование в квадратурах.

89

5. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений возникает необходимость в использовании формул дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Ниже приведены основные правила дифференцирования и интегрирования функций, а также таблицы производных и интегралов основных элементарных функций.

П р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . Производная постоянной величины C 0 . Производная суммы (u v) u v .

Производная разности (u v) u v .

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(Cy) Cy .

Производная произведения (uv) u v uv . Производная частного

u
				u v uv
						.
					v2
v

Производная сложной функции ( f (u(x)) f u .

u x

Производная обратной функции

xy 1 . yx

Производная функции, заданной параметрически:

x x(t),		dy		y
				t	.
y y(t);		dx xt
	90