СеверинВП ДУ первого порядка

Поскольку функции f x и f y непрерывны, то и правая часть как функция от x непрерывна в окрестности C (x0 ) , то есть в C (x0 ) не-

прерывна вторая производная решения y (x) .

После k -кратного дифференцирования тождества (3.10) получим утверждение теоремы.

3.7. Особые решения уравнения первого порядка

Точка (x0 , y0 ) называется особой точкой дифференциального уравнения первого порядка (3.1), если в ней нарушается либо существование, либо единственность решения этого уравнения. Геометрически это означает, что через особую точку или не проходит ни одна интегральная кривая, или же проходит несколько интегральных кривых.

Наличие особых точек дифференциального уравнения (3.1) обусловлено нарушением для него условий теоремы Коши. Чаще всего это происходит из-за отсутствия непрерывности функций f (x, y) или

f y . Именно это и приводит либо к отсутствию решения дифференциального уравнения, либо к нарушению его единственности.

Рассмотрим примеры особых точек.

П р и м е р 3 . 5 . Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

y

x

,

dy

x

,

ydy xdx ,

y

dx

y

y2

x2

C2

.

2

2

2

Общее решение имеет вид семейства окружностей x2 y2 C2 . Поскольку ни одна из окружностей не проходит через

y

O x

Рис. 3.6

61

точку O с координатами (0, 0), то эта точка особая (рис. 3.6). П р и м е р 3 . 6 . Решим уравнение:

y

y

2 y

,

dy

2 y

,

dy

2dx

,

x

dx

x

y

x

x

ln

y

2ln

x

ln

C

.

O

Общее решение представляет семей-

ство парабол

y Cx2

(рис. 3.7). В данном

Рис. 3.7

случае все точки оси Oy

особые, посколь-

ку через точку O проходит бесчисленное множество парабол, а через остальные точки не проходит ни одна кривая.

Функция y g(x) называется особым решением уравнения первого порядка (3.1), если она тождественно удовлетворяет этому уравнению g (x) f (x, g(x)) и при этом её график полностью состоит из особых точек этого уравнения.

Поскольку через каждую точку кривой y g(x) заведомо прохо-

дит одна интегральная кривая, а именно сама y g(x) , то особые решения для всех точек кривой означают, что через каждую из них проходит еще, по крайней мере, одна интегральная кривая.

П р и м е р 3 . 7 .	Решим уравнение с разделяющимися перемен-
ными:
y 2				dy				dy			dx .
		y ,			2 y ,
				dx
								2 y

62

Итак, общее решение представляет семей-
ство полупарабол (рис. 3.8)				y
	y x C .		(3.11)
Кроме этого решения данное уравнение
имеет и решение y 0 , а, значит, ось Ox				O	x
также является интегральной кривой. Но				Рис. 3.8
все точки оси Ox особые,			так как через каждую из них проходят две

интегральные кривые: ось Ox и одна из полупарабол. Поэтому решение y 0 особое. В то же время его нельзя получить из (3.11) ни при каком значении C . Это значит, что решение y 0 не может быть получено из общего решения, а, значит, оно не является частным. Именно в этом и состоит «особенность» этого решения.

Таким образом, в отличие от частных решений дифференциального уравнения, которые могут быть получены по его общему решению y (x,C) на основании заданного начального условия, особые реше-

ния невозможно получить из общего решения y (x,C) ни при каком значении произвольной постоянной C .

Предположим, что для уравнения (3.1) функции f (x, y) и f y всюду непрерывны. Тогда для этого уравнения в любой точке (x, y) выполняются условия теоремы Коши, то есть в любой точке имеют место и наличие, и единственность решения. Иными словами, такое уравнение особых точек не имеет, а, значит, оно не имеет и особых решений. Поэтому для таких уравнений можно говорить, что общее решение – это совокупность всех решений этого уравнения. Примером такого уравнения может служить

y x2 y2 .

Особые решения уравнения (3.1) следует искать там, где либо функция f (x, y) , либо производная f y терпят разрывы на множе-

63

стве точек. Например, для уравнения y 2 y									будет
f		1				,
y
				y
и при y 0 и любом значении		x функция							f y терпит разрыв.
Именно в связи с этим функция		y 0 оказалась особым решением

данного уравнения.

Существует и другой признак наличия особого решения. Пусть y (x,C) – общее решение уравнения (3.1). Предположим, что соот-

ветствующее семейство кривых имеет огибающую y g(x) (рис. 3.9).

Тогда функция y g(x) является

	решением уравнения (3.1). Дей-				y
					M
	ствительно,		для любой	точки
	M (x, y) ,	принадлежащей		огиба-	g(x)
	ющей,	для	соответствующей
	функции	y (x,C) и для функ-

ции	y g(x) величины	x , y и
y будут одни и те же, а, значит,			O	x
и соотношения между ними бу-				Рис. 3.9
дут	одинаковыми для	обеих
функций.
	Таким образом, функция y g(x)			является решением уравнения

(3.1). Но через каждую точку огибающей проходят две интегральные кривые: сама линия y g(x) и одна из линий y (x,C) . Следовательно, огибающая семейства кривых является графиком особого решения этого уравнения.

Уравнение огибающей семейства кривых G(x, y,C) 0 находится путем исключения параметра C из системы уравнений

64

G(x, y,C) 0,
	G		(3.12)
		0.
	C

Если общий интеграл дифференциального уравнения представляет семейство кривых вида G(x, y,C) 0 , то в случае существования

огибающей этого семейства ее уравнение y g(x) можно найти из системы (3.12). Это и будет особое решение данного дифференциального уравнения.

3.8.Составление дифференциального уравнения по его общему решению

Пусть известен общий интеграл некоторого дифференциального уравнения первого порядка

G(x, y,C) 0 .					(3.13)
Покажем, как найти это уравнение. Для этого продифференциру-
ем равенство (3.13) по переменной x
G	G		dy	0 .	(3.14)
	y
x			dx
Составить дифференциальное уравнение первого порядка – зна-
чит найти соотношение между	x ,	y и y . Но для этого достаточно

исключить произвольную постоянную C из системы уравнений (3.13)

и (3.14):

G(x, y,C) 0,

G G y 0.x y

В результате получим новое уравнение, связывающее x , y и y вида

F(x, y, y ) 0 .

65

Это и есть искомое дифференциальное уравнение. С геометрической точки зрения его называют дифференциальным уравнением семейства кривых (3.13).

П р и м е р 3 . 8 . Найти дифференциальное уравнение семейства

(x C)2 y2 C2 .

Р е ш е н и е . Данное уравнение представляет семейство окружностей (рис. 3.10). Для него имеем систему уравнений:

		2		2		2
(x C)			y		C		,	y
	2(x C) 2 yy 0.
Отсюда:
	x C yy ,							O	x

C x yy .

Итак, искомое уравнение	Рис. 3.10

y2 y 2 y2 (x yy )2 ,

то есть

y2 y 2 y2 x2 2xyy y2 y 2 .

Окончательно

2xyy x2 y2 0 .

3.9. Ортогональные траектории семейства кривых

66

Пусть имеются два семейства линий. Линии одного семейства называются ор-

тогональными траекториями линий дру-

гого семейства, если они пересекают линии второго семейства под прямым углом (рис. 3.11). Пусть имеется уравнение семейства линий

G(x, y,C) 0 .

Составим систему уравнений:

G(x, y,C) 0,

G G y 0.x y

y

O

x

Рис. 3.11

Исключая произвольную постоянную C							из этой системы, найдем
дифференциальное уравнение исходного семейства
						F(x, y, y ) 0 .		(3.15)
	Угловые	коэффициенты касатель-
ных к кривым заданного семейства y и							y
						1
к искомым ортогональным траекториям								90º
y	должны	удовлетворять в каждой
2
точке (x, y)		условию ортогональности
(рис. 3.12)
		y		1	.		O	x
		1		y				Рис. 3.12
			2
	Поскольку x , y и y					для исходного семейства удовлетворяют
соотношению (3.15), то x ,						y и y для семейства ортогональных тра-

екторий должны удовлетворять дифференциальному уравнению

67

	1
F x, y,			0 .
	y

Его общий интеграл

(x, y,C) 0 ,

очевидно, и будет алгебраическим уравнением семейства ортогональных траекторий.

П р и м е р 3 . 9 . Найти ортогональные траектории семейства парабол

y Cx2 .

Р е ш е н и е . Дифференцируя это равенство по переменной x , имеем

y 2Cx .

Отсюда

C 2yx .

Подставляя это выражение для произвольной постоянной C в исходное уравнение, получим

y 2yx x2 ,

то есть

y x2y .

Это дифференциальное уравнение исходного семейства. Заменяя в нем y на 1 y , найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий

y 2xy .

Преобразуем это уравнение:

68

	2yy x ,	2 y	dy	x ,	2ydy xdx .
			dx

Интегрируя последнее равенство, получим уравнение ортогональных траекторий

y2 x2 C2 . 2

Представляя это уравнение в виде										y
			x2			y2	1 ,
						C2
(			2C)2
										x
заключаем, что это семейство подобных
										C
эллипсов с		полуосями						2C и
(рис. 3.13).										Рис. 3.13

3.10. Метод последовательных приближений

Условия существования и единственности решения задачи Коши приводятся в теореме Коши, но даже при выполнении этих условий большинство дифференциальных уравнений не допускают нахождения точного решения. В этом случае применяются приближенные методы интегрирования. Выведем формулу одного из таких методов – метода последовательных приближений.

Рассмотрим задачу Коши, которая заключается в решении дифференциального уравнения (3.1) с заданным начальным условием (3.2):

y f (x, y) ,

y

x x0 y0 .

(3.16)

Предположим, что y(x) – решение задачи Коши (3.16). Тогда

y (x) f (x, y(x)) .

Интегрируя это тождество, получим

69

x	x
y (t)dt f (t, y(t))dt .
x0	x0
Отсюда следует, что
	x
y(x) y(x0 ) f (t, y(t))dt .
	x0
Учитывая начальное условие задачи Коши (3.16), получим для нее
интегральное уравнение
	x
y(x) y0	f (t, y)dt .	(3.17)
	x0
Итак, если y(x) есть решение задачи Коши (3.7), то оно удовле-
творяет и интегральному уравнению (3.17).
Обратно, если функция y(x)	есть решение интегрального уравне-

ния (3.17), то, во-первых, y(x0 ) y0 , а во-вторых, по теореме Барроу y (x) f (x, y) . Следовательно, всякое решение интегрального уравнения (3.17) является и решением задачи Коши (3.16).

Таким образом, интегральное уравнение (3.17) эквивалентно задаче Коши (3.16). Поэтому мы можем использовать интегральное уравнение (3.17) для решения задачи Коши.

В уравнении (3.17) справа под знаком интеграла находится неизвестная функция y y(t) . Положим в качестве начального приближе-

ния решения y y0 и определим функцию

x

y1(x) y0 f (t, y0 )dt .

x0

Положим в правой части интегрального уравнения (3.17) y y1(t) и определим

70