СеверинВП ДУ первого порядка

16.Привести простейший пример дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, и представить решение такого уравнения.

17.Объяснить назначение начального условия дифференциального уравнения.

18.Раскрыть геометрический смысл начального условия.

19.Дать определение изоклины.

20.Дать определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

21.Объяснить принцип решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

22.Привести дифференциальную форму уравнения с разделяющимися переменными.

23.Показать, как от дифференциальной формы уравнения с разделяющимися переменными перейти к исходной форме.

24.Привести пример дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.

25.Дать определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка.

26.Дать определение частного решения дифференциального уравнения.

27.Объяснить принцип определения частного решения дифференциального уравнения по его общему решению.

28.Объяснить геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка.

21

2. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ

Не существует общих методов интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида. В этом разделе излагаются основные виды дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, то есть решение которых представимо в виде интегралов от элементарных функций. В предыдущем разделе был рассмотрен один тип таких уравнений – дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Рассматриваются однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к однородным, линейные уравнения и уравнение Бернулли, уравнение Риккати, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель для приведения уравнений к полным дифференциалам. Для всех рассмотренных случаев даны примеры уравнений с их решениями. Приводятся примеры для аудиторного практического занятия и самостоятельной работы.

При изучении данного раздела основное внимание следует уделять правильному определению вида уравнения, от которого зависит способ его решения.

2.1. Однородные дифференциальные уравнения

Если общее решение дифференциального уравнения представлено в виде квадратур (интегралов) от элементарных функций и функций, входящих в состав дифференциального уравнения, то говорят, что

уравнение проинтегрировано в квадратурах.

Функция f (x, y) называется однородной функцией степени n от-

носительно переменных x и y в смысле Эйлера, если при любом допустимом t справедливо тождество

f (tx,ty) t n f (x, y) .

22

Если n 0 , то функция f (x, y)	называется однородной функцией ну-
левой степени.
Для функции f (x, y) y x имеем
f (tx,ty)	ty		y	f (x, y) ,
	tx		x

так что это однородная функция нулевой степени.

Дифференциальное уравнение вида y f (x, y) называется одно-

родным дифференциальным уравнением, если f (x, y) есть однородная функция нулевой степени относительно x и y .

В этом случае можно положить t 1 x . Тогда в силу однородности функции

f (tx,ty)		y
	f 1,		,
		x

y		y
	f 1,		,
		x

то есть однородное дифференциальное уравнение примет вид

	y
y g		.	(2.1)
	x
Сделаем замену переменной	z y x , откуда		y xz . Тогда
y z xz и для уравнения (2.1) имеем
z xz g(z) .			(2.2)

Преобразуем это уравнение с разделяющимися переменными:

z	g(z) z	,	dz		g(z) z	,	dz		dx	.
							g(z) z
	x		dx		x				x

Получено дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Интегрируя последнее равенство, имеем

23

dz
g(z) z	ln x	C .

Пусть G(z) – первообразная подынтегральной функции левой части.

Тогда G(z) ln x C – интеграл дифференциального уравнения (2.2).

Следовательно, решение исходного однородного дифференциального уравнения (2.1)

	y		ln		C .
G				x
x

Таким образом, замена переменной z y x всегда приводит однородное дифференциальное уравнение (2.1) к уравнению с разделяющимися переменными (1.8).

П р и м е р 2 . 1 . Решить дифференциальное уравнение

xy y		y
	tg		.
x	x

Р е ш е н и е . Перепишем это уравнение в виде

y

y

y

tg

.

x

x

Полагая в нем z y

x , учитывая, что

y xz

и y z xz , получим:

z x

dz

z tgz ,

x

dz

tgz ,

ctg z dz

dx

.

dx

dx

x

Интегрируя последнее уравнение, имеем:

			ln		ln			sin z Cx ,		y	Cx .
	ln	sin z		x		C	,		sin
										x

Окончательно получим общее решение исходного уравнения в виде

y x arcsin Cx .

24

2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным

К изученным однородным дифференциальным уравнениям приводятся некоторые уравнения первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

y	a11x a12 y b1					.	(2.3)
	a	21	x a	22	y b
					2

В общем случае это уравнение не является однородным. Если же b1 b2 0 , то имеем однородное уравнение

	y		a11x a12 y
				.
			a21x a22 y
Для общего случая дифференциального уравнения (2.3) положим
x x1 c ,	y y1 d , где x1	и y1 – новые аргумент и неизвестная

функция, а c и d – неизвестные пока числа. Уравнение (2.3) примет теперь вид

dy1		a11x1 a11c a12 y1						a12d b1			.	(2.4)
				x a c a
dx		a	21			22	y a		22	d b
1				1	21		1			2

Потребуем, чтобы выполнялась система равенств для неизвестных чисел c и d :

a		c a			d b		0,
	11		12			1
			c a			d b	0.
a				22
		21				2

Предположим, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть

D	a11	a12	0 .
	a21	a22
Тогда система имеет единственное решение, и c и d				находятся из нее
единственным способом. При таких значениях c и d				уравнение (2.4)

25

принимает вид

dy1		a11x1 a12 y1					,
dx		a	21	x a	22	y
1				1		1

то есть является однородным дифференциальным уравнением. Предположим теперь, что определитель системы уравнений отно-

сительно c и d равен нулю – D 0 , откуда получим

a11	a12	0 .
a21	a22

Но в этом случае строки этого определителя пропорциональны:

a11a21 a12 a22 , a11 a21 , a12 a22 .

Тогда уравнение (2.3) примет вид

y (a21x a22 y) b1 . a21x a22 y b2

Обозначим a21x a22 y z , откуда

y 1 z a21 x .

a22 a22

Поэтому уравнение принимает вид

1 dz					a21			z b1	,
								z b
a	22		dx		a	22
								2

а это уравнение с разделяющимися переменными.

Проведенные рассуждения верны и для уравнений более общего

вида

	a			x a		y b
y	f		11		12	1		,
				x a		y b
	a		21		22
						2

где f – произвольная непрерывная функция.

26

2.3. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным уравнением, если неизвестная функция y(x) и её производная

y (x) входят в это уравнение линейно, то есть уравнение имеет вид

A(x) y B(x) y C(x) ,	(2.5)
где A(x) , B(x) и C(x) – некоторые функции. Если	A(x) 0 при всех

возможных значениях переменной x , то уравнение (2.5) можно привести к виду

y p(x) y q(x) .

(2.6)

Будем полагать, что функции p(x) и q(x)	непрерывны. Функция q(x)
называется правой частью уравнения. Если q(x) 0 , то есть если
y p(x) y 0 ,	(2.7)

то уравнение называется линейным уравнением без правой части или однородным линейным уравнением. Здесь однородность понимается не в смысле Эйлера, а в смысле отсутствия свободного члена, то есть слагаемого, не содержащего y и y . Если же q(x) 0 , то уравнение (2.6)

называется неоднородным линейным уравнением.

Для того, чтобы решение уравнения (2.7) не спутывать с решени-

ем уравнения (2.6) будем обозначать его	u(x) . Поэтому уравнение
(2.7) перепишем в виде
u p(x)u 0 .	(2.8)

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Представим его в виде

dudx p(x)u .

Отсюда

27

du

p(x)dx ,

ln

u

p(x)dx ln

C

,

u

то есть

u Ce

p( x)dx

.

(2.9)

Будем искать теперь общее решение неоднородного уравнения (2.6) в таком же виде, как и общее решение (2.9) соответствующего однородного уравнения (2.8), то есть положим

y(x) C(x)e	p( x)dx	,	(2.10)

где C(x) , в отличие от формулы (2.9), уже не произвольная постоянная, а неизвестная функция. Для её определения продифференцируем равенство (2.10)

y (x) C (x)e

p(x)dx

C(x)e

p(x)dx

[ p(x)] .

Подстановка

y и y в уравнение (2.6) дает

C (x)e

p(x)dx

C(x)e

p(x)dx

p(x) p(x)C(x)e

p(x)dx

q(x) ,

то есть

C (x) e p(x)dxq(x) .

Отсюда

C(x) q(x)e p(x)dxdx C .

Найденную функцию C(x)

остается подставить в равенство (2.10)

p( x)dx

dx

p( x)dx

.

y(x) q(x)e

C e

Рассмотренный метод интегрирования линейного уравнения (2.6)

называется методом вариации произвольной постоянной. Он приме-

ним и к исходному дифференциальному уравнению (2.5).

28

П р и м е р 2 . 2 . Решить дифференциальное уравнение

y xy x 1x .

Р е ш е н и е . Решаем сначала однородное уравнение:

u

u

0 ,

du

dx

,

ln

ln

,

u Cx .

ln

u

x

C

x

u

x

Поэтому решение исходного уравнения ищем в виде

y(x) C(x)x .

Подставляем это в исходное уравнение:

	C (x)x C(x) C(x) x	1	,	C (x) 1	1	,	C(x) x	1	C .
		x			x2			x

Окончательно

yx2 1 Cx .

2.4.Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение

		y p(x) y q(x) y ,	(2.11)
в котором левая часть линейна относительно			y и y , а в правой части
для переменной y		показатель степени – некоторое число, причем
0 ,	1 . Если	0 , то получим линейное уравнение, если же

1, то придем к уравнению с разделяющимися переменными.

Разделим обе части уравнения (2.11) на y

	y	p(x)	1	q(x) .	(2.12)
	y		y 1

29

	Положим	1		z , где z – новая неизвестная функция. Тогда
		y 1
	z y1 ,			z (1 ) y y (1 )	y	,	y		1	z .
					y		y		1

Поэтому уравнение (2.12) перепишем в виде

1 z p(x)z q(x) 1

Итак, уравнение Бернулли всегда может му дифференциальному уравнению. Решая определим решение уравнения Бернулли

.

быть сведено к линейноего относительно z(x) ,

1

y(x) z(x)1 .

П р и м е р 2 . 3 . Решить дифференциальное уравнение

y

4

y x

y .

x

Р е ш е н и е . Разделим уравнение на

y

y

4

y x .

x

y

1

Полагая

y z , откуда z

y , получим линейное уравнение

2

y

2z

4

z x .

x

Решаем соответствующее однородное уравнение:

2u

4

u 0 ,

du

2u

,

du

2

dx

,

x

dx

x

u

x

30