- •Методические указания
- •Часть 4
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Практические занятия
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение. Разделим переменные ;
- •Интегрируем обе части, полученного равенства
- •Возвращаясь к переменной у , получаем
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Разделяя переменные, получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
- •Пример 1. Решить уравнение
- •Занятие 5. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Пример 1. Найти частное решение уравнения
- •Разделяя переменные, находим
- •Следовательно, . Окончательно получим
- •Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пусть имеем уравнение
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Библиографический список
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида…………………………….30
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 20.11.2013. Уч.- изд. Л. 2,6.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Занятие 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Линейным называется уравнение вида
(1)
где и - заданные непрерывные функции или постоянные.
Решение уравнения (1) будем искать методом Бернулли. Сделаем замену
у = u (x) v (x). (2)
Одну из функций u (x) или v (x) можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (1). Дифференцируя обе части равенства (2), находим
.
Подставляя полученное выражение производной в уравнение (1), будем иметь
или . (3)
Выберем функцию v такой, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль . Разделяя переменные в полученном уравнении относительно v, находим . Интегрируя, получим , или .
Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения, то за функцию v(x) можно взять , где - какая-нибудь первообразная. Очевидно, что v (x)0. Подставляя найденное значение v (x) в уравнение (3), получим или , откуда . Подставляя u и v в формулу (2), окончательно получим
.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Пусть y=uv, тогда .
Подставляя выражение в исходное уравнение, получим
(4)
Для определения v получим уравнение , т.е.
, откуда или . Подставляя выражение функции v в уравнение (4) получаем для определения u уравнение , или , откуда . Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид .
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию у(0) =1.
Решение. Положим y=uv, тогда .
. Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда . Разделяя переменные, получим . Интегрируя уравнение, найдем или
Для определения u имеем уравнение
, ; .
Умножив u на v, получим общее решение .
Используя начальное условие у(0) =1, найдем 1= сos0 (sin0+C), откуда С=1. Искомое частное решение будет
.
Метод Бернулли можно использовать и при интегрировании уравнения Бернулли, которое имеет вид
, где .
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Это уравнение Бернулли. Положим y=uv, тогда
;
Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда , разделяя переменные, получим . Интегрируя уравнение, найдем или . Для определения u имеем уравнение
; ; ;
.
Окончательно получим .
Задачи для самостоятельного решения
1. Ответ:
2. Ответ:
3. Ответ:
4. Ответ:
5. Ответ:
6. Ответ:
7. Ответ:
8. Ответ:
9. Ответ:
10. Ответ:
11. Ответ:
Занятие 5. Уравнения, допускающие понижение порядка
1. Рассмотрим уравнение вида , которое не содержит явным образом искомой функции у.
Положим . Тогда .Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение получим уравнение первого порядка
относительно неизвестной функции р от х. Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение р = р (х, С1), а затем из соотношения получаем общий интеграл исходного уравнения .