- •Методические указания
- •Часть 4
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Практические занятия
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение. Разделим переменные ;
- •Интегрируем обе части, полученного равенства
- •Возвращаясь к переменной у , получаем
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Разделяя переменные, получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
- •Пример 1. Решить уравнение
- •Занятие 5. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Пример 1. Найти частное решение уравнения
- •Разделяя переменные, находим
- •Следовательно, . Окончательно получим
- •Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пусть имеем уравнение
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Библиографический список
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида…………………………….30
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 20.11.2013. Уч.- изд. Л. 2,6.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Пример 1. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Полагая , преобразуем уравнение к виду
.
Это линейное уравнение первого порядка. Положим p=uv, тогда . Подставим в уравнение ; . Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда , разделяя переменные, получим , интегрируя уравнение, найдем или .
Для определения u имеем уравнение
, .
Умножив u на v, получим
Интегрируя еще раз, найдем общее решение исходного уравнения
Используя начальные условия , найдем
Получили систему линейных уравнений, из которой найдем постоянные
С1 = -3 и С2 =1/3. Искомое частное решение будет иметь вид
2. Рассмотрим уравнение вида , которое не содержит явным образом независимую переменную х .
Снова положим , но теперь будем считать р функцией от у. Тогда Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение получим уравнение первого порядка относительно функции р
.
Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С1: р=р (у, С1). Следовательно, р (у, С1)
Разделяя переменные, находим
Интегрируя это уравнение, получим искомое общее решение дифференциального уравнения.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Положим , считая р функцией от у. Тогда . Разделим переменные . Интегрируя это уравнение, находим или . Но и для определения у получаем уравнение или , откуда . Для вычисления последнего интеграла сделаем подстановку Тогда Продифференцируем это равенство
;
.
Следовательно, . Окончательно получим
.
Задачи для самостоятельного решения
1. .
Ответ: ; ;
2.
Ответ:
3. Ответ:
4. . Ответ:
5. .
Ответ: ;
6. .
Ответ: ; ;
7. .
Ответ:
8. . Ответ:
Занятие 6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
, (1)
где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде , где k = const. Тогда
Подставляя полученные выражения производных в уравнение (1) находим Так как то значит
(2)
Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (2), то будет решением уравнения (1). Уравнение (2) называется характеристическим уравнением. Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через k1 и k2. При этом возможны следующие случаи:
1. k1 и k2 – действительные и притом не равные между собой числа;
2. k1 и k2 – действительные равные числа;
3. k1 и k2 – комплексные числа.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
1.Корни характеристического уравнения действительны и различны:
k1 k2. В этом случае общее решение имеет вид .
Пример 1 . Найти общее решение уравнения
.
Решение. Составим характеристическое уравнение . Находим корни характеристического уравнения:
Общее решение имеет вид .
2.Корни характеристического уравнения действительны и равные. В этом случае k1=k2. Общим решением будет функция .
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
.
Находим его корни:
Общее решение имеет вид .
3. Корни характеристического уравнения комплексные.
Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим где
Общее решение уравнения имеет вид .
Здесь С1 и С2 - произвольные постоянные .
Пример 3. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Общее решение имеет вид .
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Определим С1 и С2. На основании первого условия находим: 0= откуда С1=0. Найдем производную . Из второго условия получим 1=2 С2, т.е. С2=1/2. Запишем искомое частное решение .
Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка
. (3)
Если коэффициенты уравнения (3) постоянные, то общее решение находится также как и в случае уравнения второго порядка. Составляется характеристическое уравнение, находятся его корни. По характеру корней выписываются частные линейно независимые решения : и строится общее решение данного линейного уравнения
,
где - произвольные постоянные.
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составляем характеристическое уравнение
. .
Общее решение будет иметь вид
.
Задачи для самостоятельного решения
1. . Ответ:.
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
5. . Ответ: .
6. . Ответ: .
7. . Ответ: .
8. .
Ответ: .
9. .
Ответ: .
10. .
Ответ: .
Линейное неоднородное уравнение n-го порядка имеет вид
, (4)
где непрерывные на (a, b) функции..
Общее решение уравнения (4) находится по формуле
(5)
Здесь - общее решение линейного однородного уравнения
, (6)
соответствующего уравнению (4), а - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (6).
В действительности непосредственное нахождение частного решения неоднородного уравнения, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, представляет большие трудности. Однако, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (6), то общее решение неоднородного уравнения (4) может быть всегда найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метода Лагранжа).
Этот метод состоит в том, что решение уравнения (4) ищется в виде
, (7)
где - некоторые непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению. Эти функции находятся из следующей системы:
Относительно 'эта система является системой n линейных неоднородных уравнений, определитель которой отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения . Для этого найдем корни характеристического уравнения , .
Общее решение однородного уравнения будет . Следовательно, фундаментальная система решений: . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Составим систему
Решим ее относительно и :
или .
Интегрируя обе части полученных уравнений, имеем:
;
.
Таким образом, общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид
.
Задачи для самостоятельного решения
1. .
Ответ: .
2. .
Ответ: .
3. .
Ответ: .
4. .
Ответ: .
5.
Ответ: .
6 .
Ответ: .
7. .
Ответ: .