- •Основы начертательной геометрии: курс лекций
- •Введение
- •Общие понятия
- •2. Метод проекций
- •2.1. Центральное проецирование
- •2.2. Параллельное проецирование
- •2.3. Ортогональное проецирование
- •2.4. Основные свойства параллельного проецирования
- •Эпюр монжа
- •4. Ортогональная проекция точки
- •5. Ортогональная проекция прямой
- •5.1. Прямая общего положения
- •5.2. Прямая параллельная плоскости проекций
- •5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций
- •5.4. Прямая, принадлежащая плоскости проекций
- •6. Ортогональная проекция плоскости
- •6.1. Частные случаи расположения плоскости
- •6.1.1. Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций
- •6.1.2. Плоскость параллельная плоскости проекций
- •7. Главные линии плоскости
- •8. Определение расстояний между
- •8.1. Отрезок, параллельный плоскости проекций
- •Отрезок принадлежит прямой общего положения
- •9. Взаимное положение прямых линий
- •9.1. Пересекающиеся прямые
- •9.2. Параллельные прямые
- •9.3. Скрещивающиеся прямые
- •10. Параллельность прямой и плоскости
- •11. Параллельные плоскости
- •12. Позиционные задачи
- •12.1. Принадлежность точки линии
- •12.2. Принадлежность точки поверхности
- •12.3. Принадлежность линии поверхности
- •12.4. Пересечение прямых линий проецирующими плоскостями
- •12.5. Пересечение плоскости общего положения
- •12.6. Пересечение двух прямых линий
- •12.7. Линии пересечения двух плоскостей общего положения
- •13. Метрические задачи
- •13.1 Прямая линия, перпендикулярная плоскости
- •13.2. Взаимно перпендикулярные плоскости
- •14. Способы преобразования
- •14. 1. Способ вращения вокруг оси,
- •14.2. Способ замены плоскостей проекций
- •14.3. Метод плоско-параллельного перемещения
- •14.4. Метод вращения вокруг линии уровня
- •15. Аксонометрические проекции
- •15.1. Изометрия
- •15.2. Диметрия
- •16. Многогранники
- •16.1. Тела Платона
- •16.2. Пересечение многогранника плоскостью
- •16.3. Пересечение многогранника прямой
- •16.4. Пересечение многогранников
- •17. Способы построения разверток
- •17.1. Способ нормального сечения
- •17.2. Способ раскатки
- •17.3. Способ треугольников
- •17.4. Развертка развертывающихся поверхностей
- •18. Кривые линии
- •18.1. Касательные и нормали к пространственной кривой
- •1 8.1.1. Построение касательной к кривой,
- •18.1.2. Построение касательной к кривой ,
- •18.1.3. Определение центра кривизны в т. М.
- •18.1.4. Эволюта и эвольвента
- •18.2. Свойства кривых линий
- •18.3. Ортогональные проекции кривой линии
- •18.4. Классификация точек
- •18.5. Кривые линии второго порядка
- •18.6. Винтовые линии
- •18.7. Построение проекций окружности общего положения
- •18.8. Пересечение конуса плоскостью, заданной следами
- •18.9. Пересечение конуса ( ) прямой линией
- •19. Построение линии пересечения поверхностей
- •19.1. Способ секущих сфер
- •19.2. Способ концентрических сфер
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
14. Способы преобразования
ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Трудоемкость и точность графического решения задач зачастую зависит от того, какое положение занимают геометрические фигуры по отношению к плоскостям проекций.
Наиболее выгодным являются положения фигуры, которые занимают частное положение (рис. 14.1, 14.2).
Рис. 14.1. Положение фигуры перпендикулярное
к плоскости проекций
Рис. 14.2. Положение фигуры параллельное
плоскостям проекций.
Каким же образом получить эти удобные проекции?
При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:
перемещением самой фигуры, так чтобы она заняла частное положение;
выбором новых проекций, по отношению к которым сама фигура окажется в частном положении.
Такие преобразования проводят различными способами:
1 – способ вращения;
2 – способ замены плоскостей проекций;
3 – способ параллельного перемещения и др.
Рассмотрим каждый из этих способов.
14. 1. Способ вращения вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости проекций
П ри вращении т. А вокруг неподвижной оси перпендикулярной плоскости проекций на т. А2 перемещается по окружности, а т. А1 на по прямой (рис. 14.3).
Рис. 14.3. Вращение точки вокруг неподвижной оси
Задача 14.1. Отрезок АВ на прямой общего положения привести в положение параллельное .
Решение
При вращении АВ повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен (рис. 14.4). - это натуральная величина отрезка АВ.
Рис. 14.4. Решение задачи 14.1
Задача 14.2. Отрезок прямой общего положения привести в положение перпендикулярное .
Решение
Разворачиваем отрезок (рис.14.5).
Рис. 14.5. Решение задачи 14.2
Чтобы плоскость заняла частное положение, достаточно вращением перевести прямую принадлежащую этой плоскости в частное положение. Количество построений может быть сокращено, если в качестве прямой взять горизонталь или фронталь.
Вращение какой-либо фигуры вокруг оси сводится к вращению точек этой фигуры вокруг этой оси.
Задача 14.3. Определить натуральную величину треугольника , принадлежащего фронтально-проецирующей плоскости.
Решение
Пусть ось вращения проходит через т.С (рис.14.6).
Рис. 14.6. Решение задачи 14.5
Плоскость вращением вокруг оси приводим в положение // .
Определим положение т. на натуральной величине .
.
Задача 14.4. Определить натуральную величину общего положения.
Решение
1 . Переводим в частное положение ( ) (рис.14.7).
Рис. 14.7. Решение задачи 14.4
Для этого проводим горизонталь и разворачиваем проекции так, чтобы она была , т.е. находится во фронтально –проецирующей плоскости.
поворачиваем вокруг т. .
2. Заключаем в фронтально-проецирующую плоскость . Горизонтальная проекция превратилась в линию.
3. См. пример 3. Поворачиваем вокруг т. , до тех пор, пока она не займет горизонтальное положение. Получим натуральную величину треугольника .
Истинные размеры фигуры общего положения не могут быть определены вращением ее вокруг одной оси: 1) вращением вокруг проецирующей прямой фигуру приводят в положение проецирующей плоскости (), а затем 2) вращением вокруг второй проецирующей прямой – в положение (//) параллельное плоскости проекций.
Плоскость фигуры перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, если горизонталь этой фигуры фронтальной плоскости проекций .
Чтобы произвольно расположенную плоскость перезадать во фронтально-проецирующую, за ось вращения следует принять горизонтально-проецирующую прямую.
Чтобы произвольно расположенную плоскость перезадать в горизонтально-проецирующую, за ось вращения следует принять фронтально-проецирующую прямую.