- •Основы начертательной геометрии: курс лекций
- •Введение
- •Общие понятия
- •2. Метод проекций
- •2.1. Центральное проецирование
- •2.2. Параллельное проецирование
- •2.3. Ортогональное проецирование
- •2.4. Основные свойства параллельного проецирования
- •Эпюр монжа
- •4. Ортогональная проекция точки
- •5. Ортогональная проекция прямой
- •5.1. Прямая общего положения
- •5.2. Прямая параллельная плоскости проекций
- •5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций
- •5.4. Прямая, принадлежащая плоскости проекций
- •6. Ортогональная проекция плоскости
- •6.1. Частные случаи расположения плоскости
- •6.1.1. Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций
- •6.1.2. Плоскость параллельная плоскости проекций
- •7. Главные линии плоскости
- •8. Определение расстояний между
- •8.1. Отрезок, параллельный плоскости проекций
- •Отрезок принадлежит прямой общего положения
- •9. Взаимное положение прямых линий
- •9.1. Пересекающиеся прямые
- •9.2. Параллельные прямые
- •9.3. Скрещивающиеся прямые
- •10. Параллельность прямой и плоскости
- •11. Параллельные плоскости
- •12. Позиционные задачи
- •12.1. Принадлежность точки линии
- •12.2. Принадлежность точки поверхности
- •12.3. Принадлежность линии поверхности
- •12.4. Пересечение прямых линий проецирующими плоскостями
- •12.5. Пересечение плоскости общего положения
- •12.6. Пересечение двух прямых линий
- •12.7. Линии пересечения двух плоскостей общего положения
- •13. Метрические задачи
- •13.1 Прямая линия, перпендикулярная плоскости
- •13.2. Взаимно перпендикулярные плоскости
- •14. Способы преобразования
- •14. 1. Способ вращения вокруг оси,
- •14.2. Способ замены плоскостей проекций
- •14.3. Метод плоско-параллельного перемещения
- •14.4. Метод вращения вокруг линии уровня
- •15. Аксонометрические проекции
- •15.1. Изометрия
- •15.2. Диметрия
- •16. Многогранники
- •16.1. Тела Платона
- •16.2. Пересечение многогранника плоскостью
- •16.3. Пересечение многогранника прямой
- •16.4. Пересечение многогранников
- •17. Способы построения разверток
- •17.1. Способ нормального сечения
- •17.2. Способ раскатки
- •17.3. Способ треугольников
- •17.4. Развертка развертывающихся поверхностей
- •18. Кривые линии
- •18.1. Касательные и нормали к пространственной кривой
- •1 8.1.1. Построение касательной к кривой,
- •18.1.2. Построение касательной к кривой ,
- •18.1.3. Определение центра кривизны в т. М.
- •18.1.4. Эволюта и эвольвента
- •18.2. Свойства кривых линий
- •18.3. Ортогональные проекции кривой линии
- •18.4. Классификация точек
- •18.5. Кривые линии второго порядка
- •18.6. Винтовые линии
- •18.7. Построение проекций окружности общего положения
- •18.8. Пересечение конуса плоскостью, заданной следами
- •18.9. Пересечение конуса ( ) прямой линией
- •19. Построение линии пересечения поверхностей
- •19.1. Способ секущих сфер
- •19.2. Способ концентрических сфер
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
9. Взаимное положение прямых линий
Две прямые могут пересекаться между собой, быть параллельными или скрещиваться.
9.1. Пересекающиеся прямые
(Свойство 5).
Прямые линии, имеющие общую точку называют пересекающимися.
Задача 9. Построить прямые и - пересекающиеся в т. .
Решение
Одноименные проекции этой прямой пересекаются и точки их пересечения являются проекциями точки пересечения этих прямых т. (рис. 9.1).
( - пересечение, объединение множеств)
Рис. 9.1. Решение задачи 9.1
9.2. Параллельные прямые
(Свойство 6)
Пусть . Одноименные проекции отрезков прямых линий параллельны и находятся в таком же соотношении, как и длины самих отрезков (рис. 9.2):
.
Рис. 9.2. Параллельные прямые
З
Дано: прямая .
Надо: провести прямую так, чтобы выполнялось условие
Решение
П роекции прямой (рис.9.3) параллельны соответствующим проекциям прямой : ; .
Рис. 9.3. Решение задачи 9.2
С
9.3. Скрещивающиеся прямые
(Свойство 7)
Если прямые принадлежат разным плоскостям, то они являются скрещивающимися.
Одноименные проекции двух пересекающихся прямых могут пересекаться, точки их пересечения не лежат на одной линии связи (9.4) или быть параллельными (9.4).
Рис.9.4. Скрещивающиеся прямые с
п ересекающимися проекциями
Рис.9.5. Скрещивающиеся прямые с
параллельными проекциями
Вопросы для самопроверки:
1. Как могут располагаться в пространстве две прямые линии?
10. Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельная плоскости параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Поэтому, чтобы на эпюре Монжа задать прямую параллельную плоскости ( ), необходимо и достаточно в плоскости взять произвольную прямую и провести .
Задача 10.1.
Дано: плоскость задана треугольником (рис.10.1).
Надо: провести прямую параллельную данной плоскости.
Решение
1. Провести прямую параллельно какой-либо стороне треугольника: ; ;
2. Провести прямую параллельно любой прямой принадлежащей плоскости:
3.Провести прямую параллельную прямым уровня (горизонтали или фронтали): ,
Рис.10.1. Решение
задачи 10.1
11. Параллельные плоскости
Две плоскости параллельны, если в одной из них можно провести две пересекающиеся прямые параллельно двум пересекающимся прямым в другой плоскости.
Чтобы задать на эпюре Монжа плоскость , параллельную плоскости , достаточно указать проекции пересекающихся прямых и , соответственно параллельных прямым и .
п лоскости заданы следами
2 . плоскости заданы пересекающимися прямыми
3 . плоскости заданы треугольниками