- •Основы начертательной геометрии: курс лекций
- •Введение
- •Общие понятия
- •2. Метод проекций
- •2.1. Центральное проецирование
- •2.2. Параллельное проецирование
- •2.3. Ортогональное проецирование
- •2.4. Основные свойства параллельного проецирования
- •Эпюр монжа
- •4. Ортогональная проекция точки
- •5. Ортогональная проекция прямой
- •5.1. Прямая общего положения
- •5.2. Прямая параллельная плоскости проекций
- •5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций
- •5.4. Прямая, принадлежащая плоскости проекций
- •6. Ортогональная проекция плоскости
- •6.1. Частные случаи расположения плоскости
- •6.1.1. Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций
- •6.1.2. Плоскость параллельная плоскости проекций
- •7. Главные линии плоскости
- •8. Определение расстояний между
- •8.1. Отрезок, параллельный плоскости проекций
- •Отрезок принадлежит прямой общего положения
- •9. Взаимное положение прямых линий
- •9.1. Пересекающиеся прямые
- •9.2. Параллельные прямые
- •9.3. Скрещивающиеся прямые
- •10. Параллельность прямой и плоскости
- •11. Параллельные плоскости
- •12. Позиционные задачи
- •12.1. Принадлежность точки линии
- •12.2. Принадлежность точки поверхности
- •12.3. Принадлежность линии поверхности
- •12.4. Пересечение прямых линий проецирующими плоскостями
- •12.5. Пересечение плоскости общего положения
- •12.6. Пересечение двух прямых линий
- •12.7. Линии пересечения двух плоскостей общего положения
- •13. Метрические задачи
- •13.1 Прямая линия, перпендикулярная плоскости
- •13.2. Взаимно перпендикулярные плоскости
- •14. Способы преобразования
- •14. 1. Способ вращения вокруг оси,
- •14.2. Способ замены плоскостей проекций
- •14.3. Метод плоско-параллельного перемещения
- •14.4. Метод вращения вокруг линии уровня
- •15. Аксонометрические проекции
- •15.1. Изометрия
- •15.2. Диметрия
- •16. Многогранники
- •16.1. Тела Платона
- •16.2. Пересечение многогранника плоскостью
- •16.3. Пересечение многогранника прямой
- •16.4. Пересечение многогранников
- •17. Способы построения разверток
- •17.1. Способ нормального сечения
- •17.2. Способ раскатки
- •17.3. Способ треугольников
- •17.4. Развертка развертывающихся поверхностей
- •18. Кривые линии
- •18.1. Касательные и нормали к пространственной кривой
- •1 8.1.1. Построение касательной к кривой,
- •18.1.2. Построение касательной к кривой ,
- •18.1.3. Определение центра кривизны в т. М.
- •18.1.4. Эволюта и эвольвента
- •18.2. Свойства кривых линий
- •18.3. Ортогональные проекции кривой линии
- •18.4. Классификация точек
- •18.5. Кривые линии второго порядка
- •18.6. Винтовые линии
- •18.7. Построение проекций окружности общего положения
- •18.8. Пересечение конуса плоскостью, заданной следами
- •18.9. Пересечение конуса ( ) прямой линией
- •19. Построение линии пересечения поверхностей
- •19.1. Способ секущих сфер
- •19.2. Способ концентрических сфер
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
15. Аксонометрические проекции
В инженерной практике для изображения объемных тел используют ортогональную аксонометрию (изометрию) и диметрию.
15.1. Изометрия
П рямоугольная изометрия характеризуется тем, что коэффициенты искажения по осям составляют 0,82. В практике они принимается равными 1, поэтому изображение увеличивается в 1,22 раза (рис.15.1).
X
Рис.15.1. Изометрия куба
О кружность вписывают в виде эллипсов. Вместо эллипсов упрощенно вычерчиваются овалы (рис.15.2).
Рис. 15.2. Изометрия окружности
15.2. Диметрия
П рямоугольная диметрия характеризуется тем, что коэффициент искажения по осям равны 0,47 и 0.94. В практике они принимается равными 0,5 и 1, поэтому изображение увеличивается в 1,06 раз (рис. 15.3).
Р ис. 15.3. Диметрия куба
Окружность вписывают в виде эллипсов. Вместо эллипсов упрощенно вычерчиваются овалы. Окружность на фронтальной плоскости приближенно вычерчивается без искажения.
Проще всего использовать упрощенную прямоугольную диметрию.
16. Многогранники
Вопрос. Какие многогранники вы знаете?
Различные детали машин, здания, крыши, кристаллы и т.д. при конструировании инженерных сооружений их форму аппроксимируют близкими по форме гранными поверхностями.
Многогранник - замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками.
Вершины и стороны многоугольников являются ребрами и гранями многогранника.
Многогранник является выпуклым, если все его вершины находятся на одну от плоскости любой его грани.
Наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды и выпуклые многогранники (тела Платона).
П ирамида – многогранник, одна сторона которого многоугольник, а остальные – треугольники.
Пирамида бывает правильной, если в основании находится правильный многоугольник и высота проходит через его центр.
Пирамида бывает усеченной.
П ризма: это многогранник, у которого две грани – равные и параллельные многоугольники, а остальные грани – параллелограммы.
П ризма бывает правильной, если ребра перпендикулярны основанию.
Е сли стороны – прямоугольники, то призма называется параллелепипед.
Призматоид. Если основания параллельны, но не равны. Грани представляют из себя треугольники и трапеции.
А нтипризма. Призматоид, у которого в основании два равных и параллельных многоугольника, но развернутые на угол . n – число сторон многоугольика.
16.1. Тела Платона
Правильный многогранник: все грани равные и правильные многоугольники. Существует 5 типов правильных многоугольгиков, которые были описанв Платоном и поэтому носят его имя.
1. Тетраэдр. 4-х гранник. Грань - равносторонний треугольгик. Вписывается в тетраэдр.
2. Гексаэдр. 6-гранник. Грань – квадрат. Вписывается в октаэдр.
3. Октаэдр. 8-гранник. Грань - равносторонний треугольгик. Вписывается в гексаэдр (куб).
4. Додекаэдр. 12-гранник. Грань – правильный пятиугольние. Вписывается в икосаэдр.
5. Икосаэдр. 20-гранник. Грань - равносторонний треугольгик. Вписывается в додекаэдр.
Какая закономерность здесь наблюдается?
Каждому правильному многоганнику соответствует другой с числом граней равному числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.
Правило Эйлера. Число граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) тел Платона связаны соотношением:
.
Правильные выпукло-вогнутые многогранники называются звездчатыми.