- •Часть 1
- •Введение
- •1. Программа по математике
- •1.1.Основные математические понятия и факты ·Арифметика, алгебра и начала анализа
- •·Геометрия
- •1.2.Основные формулы и теоремы
- •2.1. Задачи с целыми числами. Признаки делимости
- •2.2.Действительные числа
- •2.3.Процент числа. Основные задачи на проценты
- •2.4.Преобразование числовых и алгебраических выражений
- •2.4.1.Свойства степеней
- •2.4.2. Свойства арифметических корней
- •2.4.3. Формулы сокращенного умножения
- •2.4.4. Деление многочлена на многочлен
- •Пример.3.1. Решить уравнение
- •3.1.3.2.Возвратное или симметричное уравнение
- •3.1.5. Уравнения с параметром (линейные, квадратные и приводимые к ним)
- •3.2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
- •Согласно определению модуля имеем
- •3.3. Иррациональные уравнения
- •Основные методы решения иррациональных уравнений
- •3.3.2. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений – точные квадраты
- •3.3.3. Уединение радикала и возведение в степень
- •3.3.4.Уравнения, содержащие кубические радикалы
- •3.3.5. Введение вспомогательной переменной
- •Пример 3.20. Решить уравнение
- •Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения: вариант 1
- •4.1.4.Нестандартные методы решения
- •4.2. Рациональные неравенства
- •4.2.6. Иррациональные неравенства
- •5. Текстовые задачи
- •5.1. Задачи на движение
- •5.2. Задачи на работу и производительность труда.
- •5.4. Задачи на процентное содержание и концентрацию
- •5.5. Задачи на числа
- •6. Прогрессии
- •6. 1. Арифметическая прогрессия
- •6. 2. Геометрическая прогрессия
- •Задачи для самостоятельного решения вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •7. Тригонометрия
- •7.1. Тригонометрические выражения.
- •7.1.1. Основные понятия
- •7.1.2. Связь между функциями одного угла
- •7.1.3. Функции суммы и разности углов
- •7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму
- •7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов
- •7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
- •7.2.1. Замена неизвестной
- •7.2.2. Понижение степени
- •7.2.3.Введение вспомогательного угла
- •7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций
- •7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
- •7.3. Тригонометрические неравенства.
- •Задачи для самостоятельного решения вариант1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Приложение вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 1 2
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •4.Найти все пары чисел х и у, удовлетворяющие системе неравенств
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 31
- •Вариант 32
- •Вариант 33
- •Вариант 34
- •Вариант 35
- •Литература
- •Оглавление
- •Математика Пособие для подготовки к егэ в 2 частях
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
7.1.2. Связь между функциями одного угла
Эти тождества следуют из определения тригонометрических функций.
(1)
(2)
(3)
Формулы (1 – 3) позволяют по значению одной функции угла α найти все остальные.
Пример 7.2. Упростить выражение ..
В первой дроби заменим единицу по формуле (1), во второй дроби используем соотношение (2):
С использованием (1–3) по известным комбинациям тригонометрических функций с учётом формул сокращённого умножения могут быть найдены их неизвестные комбинации.
7.1.3. Функции суммы и разности углов
Заметим, что эти формулы основополагающие и с их помощью могут быть получены практически все соотношения, используемые в тригонометрии.
(4)
(5)
Пример 7.3. Найти .
.
Таким образом, формулы (4 – 5) позволяют расширить значения тригонометрических функций, приведенных ранее в таблице.
7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму
(6)
(7)
(8)
Пример 7.4. Вычислить .
Используя формулы (6−8), запишем
7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов
, (9)
, (10)
, (11)
. (12)
. (13)
. (14)
Пример 7.5. Упростить выражение .
Воспользуемся формулами (4) и (9):
.
Пример 7.5. Упростить выражение .
Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:
.
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
В начале этого раздела остановимся вкратце на обратных тригонометрических функций. Напомним решения простейших тригонометрических уравнений.
sin x= a x =(-1)k arcsin a +πk (|a|≤1), k (17)
cos x = a x = ± arccos a + 2πk (|a|≤1), k (18)
tg x = a x = arctg a +πk, k (19)
ctg x = a x = arctg a + πk, k (20)
Пример 7.6. Решить уравнение .
Это частный случай:
, k .
Отсюда
, k .
И
, k .