2.2.Действительные числа

Пример 2.2. Выполнить действия:

Чисто периодическая десятичная дробь обращается в обыкновенную по формуле а смешанная бесконечная периодическая десятичная дробь – по формуле

Таким образом, отсюда следует

25 Ответ: 11

Пример 2.3. Вычислить

1)17/40+0,6-0,005=0,425+0,600-0,005=1,020=1,02. Здесь удобнее 17/40 записать в виде десятичной дроби: 17/40=17^.25/40^.25=0,425.

2) В случае деления чаще переходят к обыкновенным дробям; имеем

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)1,75:0,25=175:25=7.

10)5+7=12. Ответ: 12.

2.3.Процент числа. Основные задачи на проценты

Процентом числа (величины) называется сотая часть данного числа (величины), 1% = 0,01.

Обычно рассматривают три основные задачи на проценты.

Первая задача. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы найти процентное отношение числа b к числу а, достаточно найти их отношение и умножить последнее на 100, т.е. р%=b/а^.100%, где р – искомое процентное отношение.

Вторая задача. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти р% данного числа а, достаточно это число разделить на 100 и умножить на число процентов, т.е. b = ар/100, где b – число, равное р% числа а.

Третья задача. Нахождение числа по данному количеству его процентов.

Чтобы найти неизвестное число а, р% которого составляют данное число b, достаточно число b умножить на 100 и полученное произведение разделить на р, т.е. а = b^.100/р.

Пример 2.5. Кусок сплава меди с оловом весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к данному куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?

Сплав содержит 12^.45/100 = 5,4 (кг) меди. Так как в новом сплаве эти

5,4 кг меди составляют по весу 40%, то вес нового сплава будет

5,4 ^.100/40=13,5 (кг). Значит нужно добавить 13,5-12=1,5(кг) олова.

Ответ: 1,5 кг.

2.4.Преобразование числовых и алгебраических выражений

2.4.1.Свойства степеней

Пусть аR и nN, n1, тогда аⁿ= а=а.

Пусть а0, тогда а^о=1; а^-n=1/аⁿ;

Для любых х,у и положительных а и b верны равенства:

Пример 2.6. Вычислить

С учетом определения степени с отрицательным, нулевым и дробными показателями, а также указанных свойств, имеем

Ответ: 7200.

2.4.2. Свойства арифметических корней

Арифметическим корнем n-ой степени (nN, n1) из неотрицательного числа а называется неотрицательное число х, такое, что хⁿ=а. Обозначается

Пусть а0, b0, nN, n1, m1.

Пусть а0, b0 и n=2k, т.е. четное число, то

Пример 2.7. Вычислить

Так как по определению модуля действительного числа то

Ответ: 0.

Пример 2.8. Разность является целым числом. Найдите это число.

Так как т.е.

Пусть Очевидно, х<0 и

Так как х<0, то х= - 10.

Ответ: - 10.

Пример 2.9. Проверить справедливость равенства

Воспользуемся тем, что два числа равны, если равны кубы этих чисел. Возведем в куб обе части данного равенства.

Так как (а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³= а³+b³+3аb(а+b), то получим

а в правой части получим 4³, следовательно, 64=4³, т.е. данное равенство справедливо.

Пример 2.10. Освободиться от иррациональности в знаменателях дробей: а) б) в) г)

а) Выражения взаимно сопряжены, так как поэтому

б)

в) Выражения а также

взаимно сопряжены, так как их произведения (а+b) и (а-b) рациональны.

г)

Ответ:

Пример 2.11. Упростить:

а) Воспользуемся формулой преобразования сложного радикала.

получим

Ответ:

б) На практике удобно пользоваться следующими более простыми формулами:

где а0, b0.

Представим 17 в виде суммы двух чисел, произведение которых равно 30. Такими числами являются 15 и 2. (15+2=17; 15^.2=30). Следовательно,

Ответ: