- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.Поверхности второго порядка
- •12.1. Эллипсоид
- •12.2. Однополостный гиперболоид
- •12.3.Двуполостный гиперболоид
- •12.4. Эллиптический параболоид
- •12.5. Гиперболический параболоид
- •12.6. Конус второго порядка
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Вопросы для самопроверки
Что называется вектором и модулем вектора?
Какие векторы называют коллинеарными, компланарными, равными?
Могут ли два вектора, имеющие равные модули, быть неравными? Если да, то чем они отличаются друг от друга?
Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?
Что называется базисом на плоскости, в пространстве?
В каком случае векторы называются линейно зависимыми, а в каком линейно независимыми?
Как определяется декартова система координат?
Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?
Приведите формулы деления отрезка в данном отношении?
Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?
Каковы формулы длины вектора, угла между двумя векторами, расстояния между двумя точками в декартовой системе координат?
Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?
Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?
Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, и углы между ними: , .
Ответ. .
2. Найти внутренние углы треугольника с вершинами A(5,2,-4), B(9,-8,-3), C(16,-6,-11).
Ответ. ; .
3. Найти проекцию вектора на ось вектора .
Ответ. 4.
4. Найти векторное произведение векторов и
Ответ.
5. Упростить выражение: .
Ответ. .
6. Векторы связаны соотношениями . Доказать, что векторы и коллинеарны.
7. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Ответ. 43.
8. Показать,что векторы компланарны.
9. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A (5, 2, 2), B(-8, -2, 5), C(6, 3, 0), D(9, 3,2).
Ответ: 0,5.
5. Плоскость в пространстве
5.1. Общее уравнение плоскости
Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система , то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z определяет относительно этой системы плоскость.
Уравнение
Ах + Ву + Сz + D = 0 (5.1)
с произвольными коэффициентами А, В, С, D такими, что из коэффициентов А, В, С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.
Пусть уравнение (5.1) имеет хотя бы одно решение х0,у0,z0, т.е. существует точка М0(х0,у0,z0), координаты которой удовлетворяют уравнению Ах0 +Ву0 +Сz0 +D = 0.
Вычитая это уравнение из (5.1), получим
А(х – х0) + В(у –у0) +С(z – z0) = 0 . (5.2)
Это уравнение определяет плоскость, проходящую через (х0,у0,z0) перпендикулярно .
Вектор перпендикулярен плоскости и называется нормальным вектором плоскости.
Если = 0, то плоскость проходит через начало координат.
Уравнение (5.1) – полное уравнение. Если один из коэффициентов равен нулю, то получим неполное уравнение. Например, уравнение Ах +Ву + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оz, вектор , (перпендикулярную плоскости ).