- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.Поверхности второго порядка
- •12.1. Эллипсоид
- •12.2. Однополостный гиперболоид
- •12.3.Двуполостный гиперболоид
- •12.4. Эллиптический параболоид
- •12.5. Гиперболический параболоид
- •12.6. Конус второго порядка
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Линейные свойства проекций
При сложении двух векторов и их проекции на произвольную ось складываются.
При умножении вектора на любое число проекция этого вектора на произвольную ось также умножается на число .
4.5. Декартова прямоугольная система координат
В реальном трехмерном пространстве положение каждой точки определяется тройкой действительных чисел.
Определение. Декартова прямоугольная система координат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей:
о сь Оx – ось абсцисс;
ось Оy – ось ординат;
ось Оz – ось аппликат.
Направленный отрезок называется радиус-вектором.
Декартовой прямоугольной системе координат отвечает тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов , , . Для произвольного вектора найдется единственная тройка чисел такая, что будет справедливо равенство:
, (4.4)
, , ,
– декартовы прямоугольные координаты , .
Т еорема 3. Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Оx , Оy , Оz соответственно.
;
, а так как - единичные векторы,то .
Обозначим , - углы наклона вектора к осям Ox, Oy, Oz.
Определение. Числа , , принято называть направляющими косинусами вектора .
Из теоремы 2 и теоремы 3 вытекает, что
; ; . (4.5)
Учитывая, что - диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем выражение длины вектора, а также направляющих косинусов через его координаты
(4.6)
(4.7)
Из равенств (4.7) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1
Вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.
4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
Точки и определяют направленный отрезок .
Пусть любая отличная от и точка прямой.
Число называется отношением, в котором точка делит направленный отрезок .
Если спроецировать точки на координатную ось, то точка делит направленный отрезок в отношении , т.е. .
; , тогда , отсюда
; ; - (4.8)
- формула для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении
Если =1, то делит отрезок пополам.
Тогда
; ; . (4.9)
4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
4.7.1. Скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение или .
, (4.10)
где - угол между и .
Физический смысл – скалярное произведение- это работа вектора силы вдоль вектора .
Произведение - есть проекция вектора на ось, определяемую вектором , или же - проекция вектора на ось, определяемую вектором , гдеугол - угол между и .
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
, (4.11)
. (4.12)
Геометрические свойства скалярного произведения
Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.