- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.Поверхности второго порядка
- •12.1. Эллипсоид
- •12.2. Однополостный гиперболоид
- •12.3.Двуполостный гиперболоид
- •12.4. Эллиптический параболоид
- •12.5. Гиперболический параболоид
- •12.6. Конус второго порядка
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
12.4. Эллиптический параболоид
Каноническое уравнение эллиптического параболоида:
, (12.5)
где р > 0, q > 0 — параметры эллиптического параболоида.
Из вида уравнения следует, что данная поверхность второго порядка расположена вдоль положительного направления оси Oz.
Как и в предыдущих случаях, исследуем данную поверхность с помощью сечений. Сечения в координатных плоскостях Oxz и Oyz имеют форму парабол с осью симметрии Oz, их уравнения соответственно имеют вид
, .
Вид этой поверхности показан на рис.38.
Сечения данной поверхности плоскостями z=h приводят к эллипсам
,
которые увеличиваются по мере удаления от плоскости Оху, с полуосями . и .
Т очка О (0,0,0) называется вершиной эллиптического параболоида. При р = q уравнение (12.5) определяет параболоид вращения, т.е. поверхность, образованную вращением параболы х2 = 2pz вокруг оси Oz.
Рис. 38
12.5. Гиперболический параболоид
Каноническое уравнение гиперболического параболоида:
, (12.6)
где р > 0, q > 0 — параметры гиперболического параболоида.
В сечении этой поверхности координатной плоскостью Oxz получается парабола
,
о
Рис 4
,
вершины которых опускаются вниз вдоль оси Oz по мере удаления сечений от плоскости Oxz.
В сечении данной поверхности плоскостью Oyz также получается парабола
,
однако ее ось симметрии - отрицательная полуось Oz, т.е. ветви этой параболы направлены вниз. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости Oyz, также получаются параболы, направленные ветвями вниз, вершины которых опускаются вдоль оси Oz по мере удаления сечений от плоскости Oyz.
Наконец, рассмотрим сечения этого параболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху (z = h). Из уравнений
,
следует, что при h > 0 в сечениях получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxz; при h < 0 (вдоль отрицательного направления оси Oz) в сечениях получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oyz. В самой плоскости Оху (при h = 0) гиперболы вырождаются в пару пересекающихся прямых
.
Таким образом, гиперболический параболоид (рис.39) представляет собой седлообразную поверхность, вершина которого находится в точке О (0,0,0).
Рис. 39.
12.6. Конус второго порядка
Каноническое уравнение конуса второго порядка:
(12.7)
В сечениях этой поверхности плоскостями z — h, параллельными и плоскости Оху, получаем эллипсы
, .
полуоси которых а' = a|h|/c и b' = b|h|/c увеличиваются по мере удаления сечений от плоскости Оху. При h = 0 линия пересечения конуса с плоскостью Оху вырождается в точку О (0, 0, 0).
В сечениях данной поверхности плоскостями Oxz и Oyi получаем по паре пересекающихся прямых, соответствующие уравнения которых имеют вид
.
Поверхность конуса второго порядка показана на рис. 40.
Рис. 40.
Рис.
40.