Учебное пособие 1613
.pdfв) Пользуясь разложением в ряд arctg x и интегрируя в пределах от 0 до х, будем иметь
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
x |
2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
... 1 n 1 |
|
|
|
|
... dx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
x |
|
x |
... ( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
(2n 1) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2n 1 (2n 1)2 |
|
|
x2 |
и ряд |
|||||||||||||||||||||||
По признаку Даламбера lim |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(2n 1)2 x2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
сходится в интервале 1 x 1.
Исследуем сходимость ряда на границах интервала. При x 1
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
ряд примет вид |
|
|
, а при x 1 вид |
|
|
|
, |
||
(2n 2) |
2 |
(2n 1) |
2 |
||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
которые по признаку Лейбница сходятся. Следовательно, область сходимости ряда будет ( 1 x 1) .
г) Раскладывая в ряд ln(1 x) и интегрируя в пределах от 0 до x, будем иметь
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
n 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
... ( 1)n 1 |
|
|
|
|
... dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
x2 |
|
|
x3 |
... ( 1) |
n 1 |
|
|
xn |
... |
||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
n |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По признаку Даламбера |
lim |
|
xn 1n2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
и ряд сходится |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(n 1)2 xn |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в интервале ( 1 x 1) . |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Граничные точки исследуем особо. |
|
При x 1 ряд примет |
||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
, |
а |
при |
|
|
x 1 |
вид |
|
|
|
|
|
|
12 . Поскольку из |
|||||||||||||
вид ( 1)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
сравнения второго ряда с рядом Дирихле находим, что он
161
сходится, то первый ряд, как знакочередующийся, тем более сходится. Таким образом, область сходимости ряда будет
( 1 x 1) .
11.2. Вычислить: а) 1 sin xdx с точностью до 0,001;
0 x
б)1/ 4 (1 x3 )dx с точностью до 0,0001.
0
Решение. а) Раскладывая подынтегральную функцию в ряд и интегрируя, будем иметь
|
1 |
|
1/ 2 |
|
x5/ 2 |
|
|
x9 / 2 |
|
x13/ 2 |
|
|
|
|
|
|
2x3/ 2 |
|
|
2x7 / 2 |
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... dx |
|
|
|
|
7 3! |
|
||||||
|
|
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x11/ 2 |
|
2x15/ 2 ... |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
... 0, 621 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
11 5! |
|
15 7! |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
7 |
3! |
|
11 5! |
|
15 7! |
|
|
При вычислении интеграла с заданной точностью достаточно ограничиться первыми тремя членами, т.к. четвертый член знакочередующегося ряда по абсолютной величине равен 0,00002 и, следовательно, остаток ряда меньше
0,001.
б) Пользуясь биноминальным разложением и интегрируя, имеем
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1/ 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
x7 |
|
1/ 4 |
|
|
|
3 |
|
|
2 2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
x |
|
... dx x |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
2 4 |
2 |
2 |
7 2! |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
... 0, 2505 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 4 |
44 |
22 7 2!47 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третий член этого знакочередующегося ряда, равный 0,000001, меньше требуемой точности, поэтому для вычисления исходного приближенного значения достаточно суммы первых двух членов.
162
11.3. Вычислить приближенные значения интегралов,
взяв для: а)1/ 4 e x2 dx |
|
3 |
|
три члена; б) 3 |
x3arctg x dx два члена |
||
0 |
0 |
|
разложения подынтегральной функции в ряд и указать погрешность.
Решение. а) Разложим подынтегральную функцию в ряд, взяв первые три члена
1/ 4 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
x |
5 |
|
|
1/ 4 |
|
1 |
x2 |
|
|
dx x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
0 |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0, 24489 . |
|
||||||||
|
|
4 |
3 43 |
10 45 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четвертый член знакочередующегося ряда по абсолютной величине равен 0,0000014, поэтому погрешность суммы первых трех членов равна 0,00001.
б) Разложим подынтегральную функцию в ряд, взяв первые два члена, и проинтегрируем
3 |
|
|
|
x6 |
x5 |
|
x7 |
|
|
3 |
|
|
35 |
|
|
37 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 012 . |
|
|
3 |
5 |
21 |
|
|
5 |
5 |
7 |
21 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третий член по абсолютной величине равен 0.00016, поэтому погрешность суммы первых двух членов 0,001.
163
3. РЯДЫ ФУРЬЕ
3.1. Ряд Фурье для функции с периодом 2
1°. Кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая
функция |
f (x) с периодом 2 может быть представлена в |
|||||||
интервале |
; в виде ряда Фурье |
|
|
|||||
|
|
|
a0 |
|
n |
|
|
|
|
f (x) |
|
(ak cos kx bk sin kx), |
(1) |
||||
где |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
k 1 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
f (x)dx, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(k 0,1, 2,...), |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
bk |
|
f (x)dx, |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о разложимости функции в ряд. Если функция f (x) кусочно-дифференцируема и 2 - периодична, то ее ряд
Фурье сходится в любой точке x0 |
и имеет сумму |
|
||
S(x ) 1 |
( f (x |
0) f (x 0)). |
(3) |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
В точке непрерывности |
функции значение суммы |
ряда |
Фурье совпадает со значением самой функции f (x) . Так как
функция f (x) есть 2 периодическая, то |
на |
концах |
интервала в точках ± она: |
|
|
а) либо непрерывна, причем f ( ) f ( ) |
и |
значения |
суммы S(± ) = f ( ) ; |
|
|
б) либо разрыва, причем в силу 2 периодичности f ( 0) f ( 0), f ( 0) f ( 0) ,
и значения суммы
S ( ) |
1 |
f 0 f 0 . |
(4) |
|
2 |
|
|
2°. Ряд Фурье для четной функции f (x) имеет вид
164
f (x) a0 |
|
|
|
ak cos kx , |
(5) |
||
где |
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
f (x) a0 |
n |
|
|
(ak cos kx bk sin kx), |
(6) |
||
2 |
k 1 |
|
Ряд Фурье для нечетной функции f (x) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f (x) bk sin kx, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
||
Представляя ряд Фурье (9) в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
bk |
|
f x sin kxdx, k 1, 2,... . |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3°. Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f (x) ck eikx , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ck |
|
|
f (x)e ikx dx, (k 0,1, 2,...). |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) c0 |
ck eikx c k e ikx , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|||
где |
|
a0 |
|
|
|
ak ibk |
|
|
|
|
ak ibk |
|
|||
c |
, |
c |
, |
c |
k |
|
, |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
0 |
2 |
|
k |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
по известным формулам Эйлера
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
cos kx |
eikx e ikx |
, sin kx |
eikx e ikx |
(13) |
|
2 |
2i |
||||
|
|
|
можно получить ряд Фурье (1).
4°. Если ряд Фурье (1) сходится, то он сходится к некоторой периодической функции f (x) . Обратно,
периодическую функцию f (x) можно разложить в ряд Фурье.
165
Иначе говоря, периодическую функцию можно разложить в ряд, состоящий из синусов и косинусов кратных дуг
f (x) a0 |
a1 cos x b1 sin x a2 cos 2x b2 sin 2x ... |
(14) |
Простейшей периодической функцией является простая |
||
гармоника |
y Asin x , |
(15) |
|
где А — амплитуда колебания, — круговая частота (число
колебаний на отрезке 0; 2 ), —начальная фаза. |
|
|
|
|
|
|||
Период колебаний функции (15) определяется по формуле |
||||||||
|
T 2 . |
|
(16) |
|||||
Уравнение простой гармоники можно записать в другой |
||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
y a cos x b sin x, |
|
(17) |
||||||
Отсюда, по уравнению простой гармоники (17), можно |
||||||||
найти амплитуду и фазу колебания |
|
|
|
|
|
|
||
A |
a2 |
b2 ; tg a . |
(18) |
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1.1. Дана 2 -периодическая функция |
f (x) x |
|
x |
|
в |
|||
|
|
|||||||
интервале ; . Требуется |
разложить |
функцию |
в |
|
ряд |
|||
Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Представим функцию в виде |
|
|
|
|
|
|
||
f (x) 0 |
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
0 x |
|
|
|
|
|
|
и дадим ее график (рис. 3.1).
Рис.3.1. 166
Докажем разложимость функции в ряд. Функция кусочнодифференцируема, т.к. внутри интервалов ; 0 , 0; имеет
производную. Поскольку на концах интервалов функция и ее производная имеют конечные предельные значения
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx f (x)dx |
|
|
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x sin kx |
|
|
|
|
sin kx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) cos kxdx |
|
|
|
x cos kxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
0 |
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos kx |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(k 1, 2,...); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
( 1) |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x cos kx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
bk |
|
|
|
|
|
|
f (x) sin kxdx |
|
|
|
x sin kxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos kxdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
0 |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
( 1)k 1 |
|
1 |
|
sin kx |
|
|
|
|
2 |
|
|
( 1)k 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Подставляя a0 , ak , |
|
bk |
в ряд Фурье (1), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
1 cos kx |
|
|
|
|
( 1) |
|
|
sin kx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k 1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1.2. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) x2 , заданную |
|
в |
интервале |
|
( ; ] , |
и, |
|
пользуясь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
разложением , найти сумму ряда Дирихле |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Нетрудно заметить, что функция удовлетворяет теореме о разложимости функции в ряд Фурье и имеет график
(рис. 3.2).
Рис.3.2.
167
Так как функция четная f (x) x2 , то по формуле (6) имеем
2 ak 0 x2
4 x cos
k k
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
x2dx |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos kxdx |
|
|
|
x |
|
sin kx |
|
|
|
|
|
|
x sin kxdx |
|||||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
kx |
|
|
cos kxdx |
|
|
|
( 1) |
|
, (k 1, 2,...) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
k |
k |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда по формуле (5)
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
4 |
1 |
1 k cos kx, |
||||||||||
3 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Откуда сумма ряда Дирихле |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
k |
|
6 |
|
|
|
|
||||
1.3. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию |
||||||||||||||||||
f (x) |
|
x |
|
заданную |
|
в |
интервале |
|
; , и, пользуясь |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
разложением, найти сумму ряда |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
(2k |
1) |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
Решение. Функция кусочно-дифференцируема и 2 - периодична, следовательно, может быть разложена в сходящийся ряд Фурье. График функции показан на рис. 3.3.
Рис.3.3.
Так как функция непрерывна, то при всех х значение суммы ряда Фурье совпадает со значениями самой функции f(x). Поскольку функция четная, то по формуле (6) имеем
168
a0 2 xdx ;
0
|
|
2 |
|
2 |
|
sin kx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ak |
|
|
x cos kxdx |
|
x |
k |
|
|
|
k |
sin kxdx |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos kx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
, (k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k 2 |
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
( 1) |
|
1 |
||||||||||||||||||||||
Отсюда по формуле (5) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
cos(2k 1)x |
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k 1) |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Полагая x=0, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k 1 |
(2k 1) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Откуда сумма ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
(2k |
1) |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2,...).
.
1.4. Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница
1 k 1 .
k 1 2k 1
Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье и имеет вид (рис.3.4).
Рис.3.4.
Так как функция нечетная, то коэффициенты ряда Фурье
(7) находим по формуле (8)
169
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin kx dx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
bk |
|
k cos kx |
0 |
k 1 |
|
1 |
, (k 1, 2,...) . |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда ряд f (x) 2 1 1 1 k sin kx .
k 1 k
Так как члены ряда отличны от нуля только при нечетных к, то ряд можно записать в виде
|
|
|
1 4 |
sin 2k 1 x . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
2k 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
||
Откуда при |
x |
имеем сумму |
|
( 1) |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
k 1 2k 1 |
|
4 |
|
|||
1.5. Разложить в |
ряд |
Фурье |
|
2 - периодическую |
функцию f (x) ex , заданную в интервале ( , ] .
Решение. Поскольку функция удовлетворяет теореме о разложимости функции в ряд Фурье, то в интервале ( , ]
ряд представляет функцию, а в точках разрыва x его
сумма S(x) 12 (e e ) .
Воспользуемся комплексной формой ряда Фурье (9), где коэффициенты находим по формуле (10)
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
(1 ik ) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ck |
exe ikx dx |
|
|
e(1 ik ) x dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 (1 ik) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e eik |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
e(1 ik ) e (1 ik ) |
|
|
e e ik |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
2 (1 ik ) |
|
|
|
|
2 (1 ik) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как по формулам Эйлера |
e ik cos k i sin k ( 1)k , то |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c ( 1)k (e e ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2 (1 ik) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
( 1) |
k |
e |
ikx |
|
|
|
|
|
|
|||
и ряд Фурье |
ex |
e |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
1 ik |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Перейдем к обычной тригонометрической форме ряда Фурье
170