Учебное пособие 1613
.pdf1.3. Однородные уравнения первого порядка
1. Дифференциальное уравнение
P x dx Q y dy 0 |
(1) |
называется однородным, если Р и Q - однородные функции от x и у, одной и той же степени (одинакового измерения).
Функция |
F x, y |
|
|
называется |
однородной, |
если |
||
F ax, ay aq F x, y , где q - степень однородности. |
|
|||||||
Однородное уравнение можно представить в виде |
|
|||||||
|
|
y |
|
x |
|
|
||
|
y |
|
|
или y |
|
. |
|
(2) |
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
y |
|
|
Однородное уравнение с помощью подстановки y ux или x uy , где и - некоторая функция от х или у, приводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Дифференциальные уравнения вида
y |
|
ax by c |
|
|
|
f |
|
(3) |
|||
|
|||||
|
a1x b1 y c1 |
|
приводятся к однородным уравнениям с помощью
подстановки x u x0 ; y u y0 , если |
ab1 a1b 0 . Здесь |
||
x , y |
0 |
координаты точки пересечения прямых ax by c 0 и |
|
0 |
|
|
a1x b1 y c1 0 .
Если же ab1 a1b 0 , то уравнение решается с помощью подстановки u ax by c .
3°. Если в дифференциальном уравнении считать x и dx - величинами первого измерения, а у и dy - измерения q, то с помощью подстановки
y uxq |
(4) |
уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Уравнения, позволяющие подобрать q таким
11
образом, называются обобщенными однородными дифференциальными уравнениями.
3.1. Проинтегрировать уравнения:
|
|
y |
|
y |
|
dx x y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x y cos x x ; |
б) dy x y ; |
|
|||||||
а) xy |
|
||||||||
в) x2 |
xy y2 dx x2dy ; |
г) xdy ydx |
x2 y2 dx , y=0 при |
x=1.
Решение. а) Разрешим данное уравнение относительно производной
|
|
|
y cos |
y |
x |
|
y |
|
1 |
|
|
|
||
y |
|
|
x |
|
|
. |
||||||||
|
x cos |
|
y |
x |
cos |
y |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
Правая часть уравнения функция однородная нулевой степени, следовательно, данное уравнение однородное.
Поскольку правая часть уравнения является функцией
отношения |
y |
, то делаем замену |
y=их. |
Производная |
|||||||
x |
|||||||||||
|
|
du |
|
|
|
|
y |
|
|||
y |
|
|
|
y |
|
|
|
||||
u x dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя значения |
и x |
в предыдущее |
|||||||||
|
|
уравнение приходим к уравнению с разделяющимися переменными
|
|
|
u x du |
u |
1 |
|
или x du |
|
1 |
. |
||
cos u |
cos u |
|||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
||||
Разделим переменные |
cos u du dx |
и |
проинтегрируем |
|||||||||
sin u ln |
|
x |
|
C . |
|
|
|
x |
и |
|
|
|
|
|
Подставляя |
вместо |
его значение, |
||||||||
|
|
окончательно получим
sin xy ln x C .
б) Полагая х = иу; x u y dudy , запишем уравнение в виде
12
|
|
|
|
|
|
|
u y du |
|
|
|
uy y |
|
|
|
|
|
или |
|
y du u 1 |
u , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
uy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
u 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
откуда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
du |
|
|
|
u2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
u |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Разделим переменные и проинтегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u 1 |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
du |
|
y |
; arctgu |
|
2 ln u |
|
|
1 ln |
|
|
y |
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u2 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Произведя обратную подстановку, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
x |
|
|
1 ln |
x |
1 ln |
y |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Окончательно общий интеграл может быть представлен в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде arctg |
|
x |
ln |
|
x2 y2 |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
в) Поскольку уравнение однородное, то полагая |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y = ux, |
|
|
u |
x dx |
|
|
|
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||
x |
|
x |
u x |
|
|
u |
|
|
x |
|
u x |
|
|
|
|
; x |
|
|
|
|
1 u |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
u |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
arctgu ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
x |
|
ln |
|
Cx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
г) Разделим правую и левую часть на dx и сделаем замену |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у = их |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x u |
x |
dx |
ux |
|
|
|
|
x |
|
|
u |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
Cx |
|
|
y x2 y2 Cx2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
u 1 u2 |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
|
частное |
|
|
|
решение. |
Подставляя в |
общее решение |
x = 1, у = 0, находим постоянную интегрирования С = 1. Таким образом, окончательно получим
y x2 y2 x2 .
13
|
|
3.2. Решить уравнения: |
а) 2x 3y 1 dx 4x 6y 5 dy 0; |
|||||||||||||||||||
б) x 2 y 5 dx 2x y 4 dy 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Решение. а) Разделив правую и левую часть уравнения на |
||||||||||||||||||||
dx, преобразуем уравнение к виду |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2x 3y 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 6 y 5 |
|
|
|
||||||||
|
|
Так |
|
как |
|
|
|
|
коэффициенты |
|
пропорциональны |
|||||||||||
|
a |
|
b |
; 2 6 3 4 |
, то используем подстановку u 2x 3y 1 ; |
|||||||||||||||||
|
a |
|
||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u 2 3y . |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя |
u и |
|
в уравнение, получим |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
u |
|
или du |
u 6 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2u 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2u 3 |
||||||||||
|
|
Разделим переменные |
|
2u 3 |
du dx и проинтегрируем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
u 6 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
du |
x; |
2u 9ln |
u |
6 |
x C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к старым переменным, общее решение примет вид
x 2 y 3ln 2x 3y 7 C .
|
б) Представим уравнение в виде |
|
|
|
||||
|
|
y |
|
x 2 y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
2x y 4 |
|
|
|
|||
|
Так как 1 2 |
то из |
решения системы, |
x 2 y 5 |
0, |
|||
|
|
y 4 |
0, |
|||||
|
2 1 |
|
|
|
|
2x |
||
находим точку пересечения этих прямых x0 1, y0 |
2 . |
|
||||||
|
Делаем замену |
x u 1, y u 2 , тогда |
dx=du, dy=du, |
|||||
dy |
dv . Переходя к новым переменным, уравнение сводится |
|||||||
dx |
du |
|
|
|
|
|
|
|
к однородному dv |
u 2v . |
|
|
|
||||
|
du |
2u v |
|
|
|
|
|
|
14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
сделать |
замену |
|
|
|
|
v ut, v |
t |
u du , |
то |
|
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t u |
dt |
|
|
u 2ut |
|
|
или u |
dt |
|
1 4t t2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
du |
|
2u ut |
|
|
du |
|
2 t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Разделим переменные |
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
dt du |
и проинтегрируем |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
4t t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d t2 4t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
ln |
u |
, |
|
2 ln |
|
t |
|
|
4t 1 |
|
ln |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
t2 4t 1 |
|
|
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
отсюда |
t2 4t 1 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
и учитывая, что C2 |
C , получим |
|||||||||||||||||||||||||
Заменяя переменную t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
v2 |
4 |
v |
1 |
C |
, v2 |
4uv u2 C . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u2 |
|
|
u |
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к переменным х, у, общий интеграл запишем в
виде y 2 2 4 y 2 x 1 x 1 2 C или
y x 3 2 2 y 2 x 1 C .
3.3.Проинтегрировать уравнение x2 y2 1 y 2xy3 0 .
Решение. Если считать, что x и dx величины первого измерения, a y, dy - измерения q =-1 , то исходное уравнение можно отнести к обобщенному однородному дифференциальному уравнению.
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
; y |
u |
|
1 du |
|
||
Воспользуемся заменой |
|
y x |
|
x dx |
, тогда |
||||||||||
|
x2 |
||||||||||||||
|
2 u2 |
|
|
|
u |
|
1 du |
|
|
|
u3 |
|
|||
x |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
3 ; |
|
||
x |
|
x |
2 |
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
u2 1 1 du u3 u ;
xdx x2 x2
|
u2 1 |
du |
dx |
. |
||||
u |
|
u |
2 |
|
x |
|||
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
15
Представим дробь в левой части в виде суммы дробей и проинтегрируем
|
|
|
|
|
|
2udu |
|
du |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
u2 1 |
|
|
|
u |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
ln |
|
u |
2 |
|
ln |
|
u |
|
ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
; |
u2 1 |
|
C |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
u |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к переменной у, окончательно получим x2 y2 1 Cy .
1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
1. Линейным дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной
|
y P x y Q x , |
|
|
|
(1) |
|
где P(x), Q(x) - известные функции от х. |
|
|
|
|
||
Посредством |
замены функции |
у |
|
произведением двух |
||
вспомогательных |
функций у = uv; |
y |
|
|
|
линейное |
|
u v v u |
уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x v Q x . (2) |
u v v u P x uv Q x |
или u v u |
v |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем функцию v такой, чтобы |
v P x v 0 , тогда |
||||||||
|
|
dv P x dx |
|
|
|||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
и частное решение этого уравнения имеет вид |
|||||||||
|
|
v e |
P x dx |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку выражение в квадратных скобках в (2) равно |
|||||||||
нулю, то получим |
|
x , |
откуда |
|
|
||||
u v Q |
|
|
16
u Qv xx dx C .
Произведение найденных решений и и v является общим решением исходного уравнения
|
|
Q x |
|
|
|
y v x |
|
dx C . |
(3) |
||
|
|||||
|
v x |
|
|
||
|
|
|
|
2°. Уравнение вида
y P x y ynQ x , |
(4) |
где P(x), Q(x) - известные функции от х, а n 0 |
и n 1, |
называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли отличается от линейного только тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции у. Уравнение
Бернулли с помощью подстановки |
у = uv; |
y |
|
|
|
также |
|
u v v u |
сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными. 3°. Метод Лагранжа. Если в уравнении (1) Q x 0 , то
уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x) = 0 - линейным однородным.
Рассмотрим решение линейного однородного уравнения. Для этого разделим переменные
dyy P x dx; ln y P x dx ln C ,
откуда y Ce P x dx , где С — постоянная интегрирования.
Варьируя постоянную интегрирования, т. е. считая С(х) - некоторой дифференцируемой функцией от х, подлежащей определению, имеем
y C x e P x dx .
Подставляя y в неоднородное уравнение (1), получим
C x e P x dx Q x , откуда C x Q x e P x dxdx C .
17
Таким образом, искомое общее решение неоднородного линейного уравнения примет вид
y e |
P x dx |
Q x e |
P x dx |
|
, |
(5) |
|
|
dx C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где С - постоянная интегрирования.
Метод Лагранжа (или вариации произвольной постоянной) может быть применен и к уравнению Бернулли (4).
4°. В ряде случаев уравнения приводятся к линейным или уравнению Бернулли, если принять у за независимую
переменную, а x |
- за функцию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4.1. Решить |
уравнения: |
а) y yctgx sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
x |
1 |
y 4xy |
3, |
|
|
найти |
решение, |
|
|
удовлетворяющее |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
начальному условию y(1) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Решение. а) Производя замену у=uv; y |
|
|
|
|
|
|
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u v uv |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
uvctgx sin x , |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u v uv |
vctgx sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Выберем v так, чтобы |
dv |
vctgx 0 . |
Разделяя переменные, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
находим |
ctgxdx , откуда v sin x . Подставляя в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) значение v, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x du sin x или du dx; |
u x C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Общее решение будет y x C sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
б) Приведем уравнение к виду |
|
y |
4x |
y |
|
|
|
3 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
1 |
x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
сделаем замену y = uv, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4xv |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
u v v u |
|
|
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
; |
u v u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7) |
||||||
|
|
x |
2 |
1 |
|
x |
2 |
1 |
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Приравниваем выражение в скобках нулю
18
dv |
|
4x |
dv |
|
|
4xdx |
|
|
|
|
|
|
|
2ln x |
2 |
1 ; |
||||
dx |
|
|
|
v 0; |
v |
|
|
|
; ln |
|
v |
|
|
|||||||
x2 |
1 |
x2 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя частное решение v |
|
в выражение (7), получим |
||||||||||||||||||
|
du |
3 x2 1 ; u 3 x2 1 dx x3 3x C . |
||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение примет вид
yx3 3x C .
x2 1 2
Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальным условием y=0 при х=1, тогда С=- 4. Окончательно будем иметь
y |
x3 |
3x 4 |
. |
||
|
|
|
|||
|
|
x2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
4.2. Найти общий интеграл уравнения: |
|||||
а) y2 6x y 2 y 0 ; |
|
б) xy 3y x2 . |
Решение. а) Уравнение сводится к линейному, если считать у за независимую переменную, а х - за функцию. Запишем исходное уравнение в виде
|
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
|
2 y dy |
y |
|
|
6x или x |
|
x |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Используя замену х = uv; |
x |
|
|
|
|
|
|
|
, получим |
|
|||||||||||||||||
|
u v v u |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
3v |
|
|
|
|
y |
|
|
||
|
uv |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
(8) |
|||||||||||||
u v v u |
y |
2 |
u v u v |
y |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3v |
|
|
dv |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
v |
|
|
|
|
3 |
; v y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
; |
|
v |
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя частное решение v в выражение (8), будем иметь
19
u y3 2y , du 12 dyy2 , u 21y C.
Таким образом, окончательно получим
x 21y C y3.
б) Воспользуемся методом Лагранжа. Найдем сначала решение однородного уравнения ху'+Зу = 0. Разделим переменные
|
|
|
|
dy |
3dx , |
ln |
|
y |
|
3ln |
|
x |
|
|
|
ln |
|
C |
|
, |
y |
C |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть постоянная интегрирования зависит от |
х, т. е. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
C x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
dC 3Cx 4 . |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим у' и у в исходное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
dC |
3Cx 4 |
3C |
|
x2 , dC |
x4 , C x |
|
x5 |
C . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
dx |
|
x |
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, из выражения (9) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
C |
|
|
x |
2 |
|
|
|
C1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.3. Найти решение уравнений: а) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
yctgx sin x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) x2 y2 y xy3 1; в) x2 2 y y2 y 2x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Данное уравнение есть уравнение Бернулли. Для его решения используем подстановку у = uv, тогда
|
|
uv 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv 3 |
(10) |
u v v u uvctgx sin x |
, u v u v |
vctgx sin x , |
||||||||||||
|
dv |
cos xdx , |
ln |
|
v |
|
ln |
|
sin x |
|
; |
v sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
v |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20