Учебное пособие 1613
.pdfСокращая на ex и приравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых тригонометрических
функциях, находим, что A |
5 |
|
|
, B |
1 |
. |
|
|||||||
26 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|||
Частное решение примет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y1 |
1 |
ex |
5cos x sin x . |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, общее решение исходного уравнения будет |
||||||||||||||
|
y C1ex C2e6 x |
|
1 |
ex 5cos x sin x . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) Для соответствующего однородного уравнения |
||||||||||||||
y 2 y 0 |
составим |
характеристическое |
уравнение |
|||||||||||
k2 2k 0 . |
Его корни |
k |
|
0, k |
2 |
2 . Общее |
решение |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
однородного уравнения будет |
|
u C |
C |
e2 x . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Правая часть неоднородного уравнения суть произведение двучлена на тригонометрическую функцию, поэтому частное решение представим в виде
Asin x Asin x Ax B cos x C cos x C cos x Cx D sin x2 Acos x Ax B sin x C sin x Cx D cos x x cos x.
Приравниваем коэффициенты |
|
|
|
||||||||
sin x |
A A D 2B 2C 0, |
||||||||||
cos x |
B C C 2A 2D 0, |
||||||||||
x sin x |
|
|
|
C 2A 0, |
|||||||
x cos x |
|
|
|
A 2C 1. |
|||||||
Из решения этой системы находим, что |
|
|
|
||||||||
A |
1 |
, |
B |
14 |
, |
C |
2 |
, |
D |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
25 |
|
5 |
|
25 |
|
Таким образом, частное решение будет
y1 15 x 145 cos x 52 x 15 sin x .
Отсюда общее решение неоднородного уравнения
61
yC1 C2e2 x 15 x 145 cos x 52 x 15 sin x .
11.3.Решить уравнения: а) yIV 5y 4 y 3sin x ;
б) y 2 y y 2e 2 x ; |
y 0 2, y 0 1, |
y 0 1. |
||||||
Решение. |
а) Для |
соответствующего однородного |
||||||
уравнения |
yIV 5y 4 y 0 составляем характеристическое |
|||||||
уравнение |
|
k4 5k2 |
4 0. |
Находим |
его |
корни |
||
k1,2 i, k3,4 |
2i. |
Следовательно, |
общее |
решение |
||||
однородного уравнения будет |
|
|
|
|
||||
u C1 cos x C2 sin x C3 cos 2x C4 sin 2x . |
|
|||||||
Поскольку |
число |
a bi |
совпадает |
с |
корнями |
|||
характеристического |
уравнения |
k1,2 , |
то частное |
решение |
примет вид y1 Ax cos x Bx sin x. Находя производные y1IV , y1
и подставляя их в исходное уравнение, будем иметь
4Asin x Ax cos x 4B cos x Bx sin x
5 2Asin x Ax cos x 2B cos Bx sin x4 Ax cos x Bx sin x 3sin x .
Приводя подобные члены и сравнивая коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций, находим, что
A 1 , B 0. Таким образом, частное решение неоднород-
2
ного уравнения будет |
y |
1 |
x cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно, общее решение неоднородного уравнения |
||||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C cos x C |
|
sin x C cos 2x C |
|
sin 2x |
1 |
x cos x . |
||||||||
2 |
4 |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
Для |
соответствующего однородного |
уравнения |
|||||||||||
y 2 y y 0 |
составляем характеристическое |
уравнение |
||||||||||||
k3 2k2 |
k 0. |
Находим его корни k |
0, k |
2,3 |
1. Учитывая |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
62
кратность корней k2,3 , общее решение однородного уравнения
запишем в виде u C1 C2 C3 x e x .
Частное решение неоднородного уравнения по виду
правой |
части будет |
y |
Ae 2 x . Находя производные |
|
|
|
|
1 |
|
y , |
y , |
y и подставляя |
их |
в исходное уравнение, будем |
1 |
1 |
1 |
|
|
иметь
8Ae 2 x 8Ae 2 x 2Ae 2 x 2e 2 x .
Отсюда неопределенный коэффициент равен A 1 и частное решение будет y1 e 2 x .
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения примет вид
y C1 C2 C3 x e x e 2 x .
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями. Находим сначала производные
y C3e x C2 C3 x e x 2e 2 x ,
y C3e x C3e x C2 C3 x e x 4e 2 x .
Подставляя в эти уравнения y, y и y при x = 0, получим
систему
C1 C2 3,
C2 C3 1,
C2 2C3 5,
решая которую, получим C1 6, C2 3, C3 4.
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид
y6 3 4x e x e 2 x .
11.4.Найти общие решения уравнений:
а) y 2 y y xe x cos x ; б) |
y 3y 2 y |
|
ex |
|
2 |
; |
|
x |
|||||
|
e |
1 |
|
|
63
в) y 4 y 4 y e 2 x ln x ; г) y 4 y sin2 x cos x.
Решение. a) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения. Поскольку корни характеристи-
ческого уравнения равны k1,2 1, то общее решение имеет вид
u C1 xC2 e x .
Для нахождения частного решения воспользуемся формулой (3)
y1 e x xe x cos xexdx dx e x x cos xdx dx
e x x sin x cos x dx e x 2sin x x cos x .
Таким образом, y C1 xC2 2sin x x cos x e x .
б) Характеристическое |
|
|
уравнение, |
|
|
|
соответствующего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
однородного уравнения, имеет корни |
|
|
k1 2, |
k2 1. |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
общее решение однородного уравнения будет |
u C e2 x |
C |
ex . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Частное решение находим по формуле (3) |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x |
|
x |
|
|
|
|
|
ex |
2 |
x |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
e dx dx e |
|
|
|
e |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 x |
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
2 x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
ex |
1 t |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||
|
|
e |
e |
x |
|
1 |
|
|
e |
x |
1 |
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, y C1e2 x C2ex e2 x x ln ex 1 .
в) Характеристическое уравнение, соответствующего однородного уравнения, имеет кратные корни k1,2 2. Общее
решение однородного уравнения будет u C1 xC2 e 2 x . Частное решение находим по формуле (3)
64
y e 2 x e 2 x lnxe 2 xdxdx e 2 x lnxdx e 2 x x ln x x dx
|
e |
2 x x2 |
ln x |
3x2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
Таким образом, |
y C1 xC2 |
|
ln x |
|
e 2 x . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
г) Характеристическое уравнение, соответствующего |
|||||||||||||||
однородного уравнения, |
имеет корни k1 0, k2 |
2i, |
k3 2i. |
Общее решение однородного уравнения будет u C1 C2 cos 2x C3 sin 2x.
Частное решение находим по формуле (4)
y1 e2ix e 4ix sin2 x cos xe2ixdxdxdx.
Тригонометрические функции по формулам (6) выражаем через показательные
y1 18 e2ix e 4ix e4ix 2e2ix 1 eix e ix dx
|
1 |
|
|
|
2ix |
|
|
|
4ix e5ix |
|
e3ix |
|
|
eix |
|
|
e ix |
|
||||||||||
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
5i |
|
|
3i |
|
i |
|
i |
dx |
|
||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2ix eix |
|
e ix |
|
e 3ix |
|
e 5ix |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||
8 |
|
|
|
5 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3ix |
|
|
|
3ix |
|
|
ix |
|
|
ix |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
e |
|
e |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
15i |
|
|
15i |
|
|
3i |
|
3i |
|
|
|
Пользуясь формулами (5), выразим результат через
тригонометрические функции y |
1 |
sin 3x |
1 |
sin x. |
|
|
|||
1 |
60 |
12 |
|
|
|
|
Таким образом,
yC1 C2 cos 2x C3 sin 2x 601 sin 3x 121 sin x.
11.5.Решить методом вариации произвольных постоянных уравнения:
65
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
а) y |
2 y |
y x2 1 ; б) y |
y cos3 x ; в) |
y |
sec xtg x. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. |
|
а) Для |
|
соответствующего |
|
|
|
однородного |
||||||||||
уравнения |
|
y 2 y y 0 |
составляем |
характеристическое |
||||||||||||||
уравнение |
k2 2k 1 0, |
|
корни которого |
|
k |
|
1. Общее |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
||
решение однородного уравнения будет u C1 |
C2 x ex . |
Пользуясь методом вариации произвольных постоянных, решение будем искать в виде
y C1 x ex C2 x xex ,
C1 x , C2 x находятся из системы уравнений (9). Обозначая
y ex и y |
2 |
xex , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C1e |
|
C2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x e |
x |
|
|
ex |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
C1e |
|
C2 1 |
|
x |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда C1 |
|
1 |
, |
|
C2 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 1 |
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегрируя последние выражения, находим |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
C1 |
1 |
ln x2 1 C1; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
C2 arctgx C |
2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
Подставляя в общее решение, окончательно будем иметь y C1 C2 x 12 ln x2 1 arctg x ex .
б) Для соответствующего однородного уравнения y y 0 составляем характеристическое k2 1 0 и находим
его корни k i. Общее решение однородного уравнения будет
u C1 cos x C2 sin x .
Пользуясь методом вариации произвольных постоянных, решение ищем в виде y C1 x cos x C2 x sin x.
66
Обозначая |
y1 cos x; y2 |
sin x, |
из |
|
системы |
(9) будем |
|||||||||||||||||||||
иметь |
|
C cos x C sin x |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C1 sin x C2 cos x |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Откуда |
C1 |
sin x |
; |
C2 |
1 |
. |
|
|
Интегрируя |
последние |
|||||||||||||||||
cos3 x |
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||
выражения, находим C |
|
1 |
|
|
|
; |
|
C |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
C |
|
|
tg x C |
|
|||||||||||||||||||||
2 cos2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
Подставляя C1, C2 в общее решение, будем иметь |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y C1 1 cos x C |
2 sin x |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
или |
2cos x |
cos x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y C cos x C |
|
sin x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) Для |
соответствующего |
однородного |
уравнения |
||||||||||||||||||||||||
y y 0 |
составляем |
характеристическое |
k3 k 0 и |
||||||||||||||||||||||||
находим |
его |
|
корни |
k1 0, k2,3 i. |
|
|
|
Общее |
|
решение |
однородного уравнения будет
u C1 C2 cos x C3 sin x.
Пользуясь методом вариации произвольных постоянных, решение имеем в виде u C1 x C2 x cos x C3 x sin x.
Обозначая y1 1; y2 |
cos x; y3 |
sin x, из системы (10) |
будем иметь |
|
|
C1 C2 cos C3 sin x 0,
C2 sin x C3 cos x 0,
C2 cos x C3 sin x cos2 x ,
67
3 |
xx , C2 tgx, C3 tg2 x. Интегрируя |
откуда C1 sin x cossin 2 |
последние выражения, получим
C1 cos1 x C1; C2 ln cos x C2 ; C3 x tgx C3.
Подставляя C1, C2 и C3 в решение, будем иметь
y cos1 x C1 cos x ln cos x C2 cos x x tg sin x C3 sin x
или окончательно
y C1 C2 cos x C3 sin x cos1 x cos x ln cos x x tg x sin x.
1.12. Дифференциальные уравнения Эйлера
1°. Линейное уравнение с переменными коэффициентами вида
ax b n |
y n |
a1 ax b n 1 ... an 1 ax b y an y f x , (1) |
||||||||||||||||||||||
где a,b, a1,..., an 1, an |
- постоянные, называется уравнением Эй- |
|||||||||||||||||||||||
лера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax b et |
|
|||
|
Если для области ax b 0 по формуле |
ввести |
||||||||||||||||||||||
новую |
|
независимую |
|
переменную t , то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
; |
|
|
2 |
e |
2t |
|
|
|
a |
3 |
e |
3t |
|
|
|
|
||
|
yx ae |
|
yt |
yxx a |
|
ytt |
yt ; |
yxxx |
|
|
yttt |
3ytt 2 yt |
||||||||||||
и т. д. |
|
|
и |
уравнение |
Эйлера |
преобразуется |
в |
линейное |
||||||||||||||||
уравнение с постоянными коэффициентами. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2°. Уравнение вида |
|
... an 1xy an y f x , |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xn y n a1xn 1 y n 1 |
|
(2) |
|||||||||||||||||
есть частный случай уравнения Эйлера (1). |
|
|
|
|
x et |
|||||||||||||||||||
Решение уравнения (2) ищем с помощью подстановки |
||||||||||||||||||||||||
x 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
e |
2t |
|
|
|
|
|
e |
3t |
|
|
|
|
|
|
и т. д. |
|||
yx e |
|
yt ; |
yxx |
|
ytt yt ; yxxx |
|
|
yttt |
3ytt 2 yt |
и уравнение (2) преобразуется в линейное с постоянными
68
коэффициентами. Если x 0 , то используют подстановку
x et .
3°. Решение однородного уравнения Эйлера
|
|
|
|
|
|
|
xn y n a1xn 1 y n 1 |
... an 1xy an y 0 |
|
(3) |
|||||||||||||||||
при x 0 |
|
можно найти в виде y xr , где r - постоянное число. |
|||||||||||||||||||||||||
Для нахождения |
|
r подставляем |
|
|
|
|
|
n |
в уравнение (3) и |
||||||||||||||||||
|
y, y ,..., y |
|
|||||||||||||||||||||||||
решаем |
|
|
|
|
полученное |
|
характеристическое |
|
уравнение |
||||||||||||||||||
относительно r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
|
|
|
r - |
действительный |
корень |
характеристического |
||||||||||||||||||||
уравнения кратности |
k, |
то ему соответствует |
k линейно |
||||||||||||||||||||||||
независимых решений |
y3 xr ln x 2 , … , yk xr ln x k 1 . |
||||||||||||||||||||||||||
y1 xr , |
y2 xr ln x, |
||||||||||||||||||||||||||
Если корни комплексные r i |
кратности k, то им со- |
||||||||||||||||||||||||||
ответствует k пар линейно независимых решений |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x cos ln x , |
x ln x cos ln x , … , |
x ln x k 1 cos ln x , |
|||||||||||||||||||||||||
x sin ln x , |
|
x ln x sin ln x , … , |
x ln x k 1 sin ln x . |
||||||||||||||||||||||||
12.1. Решить уравнения: а) |
x2 y xy y 0; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) |
x |
2 |
y |
|
|
|
y 0; |
в) |
x |
2 |
y |
|
3xy |
|
y |
|
1 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
xy |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
г) x 1 2 y 3 x 1 y 4 y x 1 3 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. а) Уравнение однородное, |
полагаем y xr . То- |
||||||||||||||||||||||||||
гда y |
|
rx |
r 1 |
и y |
|
r r |
1 x |
r 2 |
. Подставляя |
|
|
в заданное |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y, y , y |
|
|||||||||||||||||||
уравнение, |
|
получим |
|
характеристическое |
|
уравнение |
|||||||||||||||||||||
r r 1 r 1 0 илиr2 |
1 0 . Корни мнимые r1,2 |
i . Следо- |
|||||||||||||||||||||||||
вательно, общее решение будет y C1 cos ln x C2 sin ln x. |
|||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
Полагая y xr , находим характеристическое уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
r r 1 r 2 r 1 0 |
или r 1 3 0 . Корни действительные |
и кратные кратности k = 3. Следовательно, общее решение бу-
дет y x C1 C2 ln x C3 ln2 x .
69
в) Полагая x et , получим x2e 2t ytt yt 3xe t yt y 1x
или ytt 2 yt y e t , т. е. линейное уравнение с постоянными
коэффициентами.
Общее решение однородного уравнения имеет вид u C1 tC2 e t .
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде |
|||||||||||
y1 At2e t . |
|
|
Находим |
|
производные |
y1 A 2te t |
t2e t , |
||||
y1 A 2e t |
4te t t2e t . Подставляя y, y , y в неоднородное |
||||||||||
уравнение, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
2e t 4te t t2e t 4te t 2t2e t t2e t e t , |
|
|||||||||
отсюда A |
1 |
. Таким образом, |
y C1 tC2 |
e t |
1 |
t2e t . |
|||||
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
Переходя к переменной x, будем иметь |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y C C |
2 |
ln x |
1 ln2 x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
г) Полагая x 1 et , находим линейное уравнение с посто- |
|||||||||||
янными коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
|||||
ytt yt 3yt 4 y 33t |
или y 4 y 4 y 33t . |
|
|||||||||
Характеристическое уравнение, соответствующего одно- |
|||||||||||
родного |
уравнения, |
|
имеет |
кратные |
корни |
k1,2 2 . |
Следовательно, общее решение будет u C1 tC2 e2t .
Частное решение неоднородного уравнения представим в виде y1 Ae3t . Тогда 9Ae3t 12Ae3t 4Ae3t e3t , откуда А = 1.
Общее решение неоднородного уравнения будет y C1 tC2 e2t e3t .
Переходя к переменной x, окончательно получим y C1 C2 ln x 1 x 1 2 x 1 3 .
70