- •ВВЕДЕНИЕ
- •Пособие по интегральному исчислению предназначено для студентов заочной формы обучения, но, безусловно, может быть использовано и студентами дневной формы всех специальностей ВГАСУ.
- •Без интегралов не может обойтись ни физика, ни химия, ни теоретическая механика, ни строительная механика и т.д. и т.п., а значит, практически все инженерные дисциплины.
- •Авторы настоятельно советуют внимательно читать и разбирать теоретические вопросы, прежде чем использовать полученные формулы для вычисления интегралов (их использование достаточно простое для читателя, освоившего первую главу).
- •Во второй и третьей главах подробно разобрано множество примеров и задач, объясняется выбор формулы при решении каждой задачи.
- •Авторы надеются, что данное пособие поможет читателям в освоении материала – сложного и очень важного для дальнейшего обучения.
- •1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойство 1.1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
- •Свойство 1.3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
- •1.2. Таблица интегралов
- •1. Если
- •3. Если
- •Воспользовавшись формулой 3 таблицы интегралов и формулой (1.11) (a = 2, b = -6) получим
- •Обозначим:
- •Тогда
- •По формуле (1.12) получим
- •1.6. Интегрирование рациональных функций
- •1.8. Интегралы от некоторых иррациональных выражений
- •I. Рассмотрим интеграл вида
- •2.1.2. Определение определенного интеграла
- •2.1.3. Свойства определенного интеграла
- •2.1.4. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2.1.5. Формула Ньютона-Лейбница
- •2.1.6. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.1.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.1.8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.1.8.5. Объем тел вращения
- •2.2. Несобственные интегралы
- •3.1. Двойные интегралы
- •3.1.1. Задача об объеме цилиндрического тела
- •3.1.2. Задача о массе неоднородной пластинки
- •3.1.3. Определение двойного интеграла
- •Имеем
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •1. Какие из перечисленных интегралов можно найти только с помощью формулы интегрирования по частям:
- •4. Что такое универсальная подстановка?
- •7. Чем отличаются формулы интегрирования по частям в неопределенном и определенном интегралах?
- •8. Какие из перечисленных интегралов являются несобственными:
ГЛАВА 3. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1.Двойные интегралы
3.1.1.Задача об объеме цилиндрического тела
Рассмотрим в пространстве xOyz тело T , ограниченное снизу областью D , лежащей в плоскости xOy , сверху – поверхностью, являющейся графиком функции z = f (x, y) ( f (x, y)≥ 0 в области D ), а «по
бокам» – цилиндрической поверхностью, «параллельной» оси Oz и проходящей через границу области D (рис. 3.1)
Найдем объем этого тела. Если бы верхняя «крышка» тела T была плоской и параллельной плоскости xOy , то объем
вычислялся бы по формуле объема цилиндра V = Sоснh . Вычислим объем тела T , разбив его
на части, каждая из которых «почти» цилиндр. Рис. 3.1 Для этого разобьем область D произвольными
линиями на n частей. Пронумеруем эти части D1, , Dn и обозначим их площади ∆S1, ,∆Sn соответственно. Проведем через линии разбиения
цилиндрические поверхности, параллельные Oz . Тело Т разобьется на n кусков T1, ,Tn (рис. 3.2)
|
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
кусочки |
|
D1, , Dn |
|
|
|
|
|
|
|||
«маленькие», |
то |
верхние |
крышки |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
кусков T1, ,Tn |
почти плоские, т.е. тела |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
T1, ,Tn |
«близки» к цилиндрам. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Выберем |
|
|
в |
каждом |
кусочке |
Di |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
произвольную точку Mi |
(i =1, ,n ) |
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вычислим значения функции z = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в точках М1, ,Мn : f (M1 ), , |
f (M n ). |
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем |
считать, |
что |
кусочек |
|
|
«близок» к |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела |
Ti |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндру с основанием Di |
и высотой hi = f (Mi ) (рис. 3.3). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда объем |
Vi |
тела Ti |
будет приближенно равен |
||||||||
|
|
hi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (Mi ) ∆Si ( ∆Si – площадь основания, f (Mi ) – высота). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Mi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
(Mi )∆Si . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Di |
|
|
|
|
V = ∑Vi ≈ |
∑ f |
(3.1) |
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Чем |
|
мельче |
разбиение |
области |
D, |
тем |
точнее |
равенство (3.1). |
82
Обозначим через di наибольшее расстояние между точками кусочка Di (i =1, ,n ), di называют диаметром кусочка Di . Будем измельчать разбиение
области D , т.е. увеличивать n и уменьшать диаметры кусочков. При этом для каждого разбиения будем выбирать снова точки М1, ,Мn и вычислять
приближенное значение объема тела T по формуле (3.1). Назовем процесс измельчения разбиения неограниченным, если n →∞ и все di стремятся при
этом к нулю, т.е. max di → 0 . Если при неограниченном измельчении разбиения существует предел
nlim ∑n f (Mi )∆Si , max→d∞i →0 i=1
1≤i≤n
не зависящий от способов разбиения и выбора точек Mi (i =1, ,n ), то этот предел считают равным искомому объему, т. е.
V = lim |
∑n f (Mi )∆Si . |
(3.2) |
n→∞ |
i=1 |
|
max di →0 |
|
|
1≤i≤n |
|
|
3.1.2. Задача о массе неоднородной пластинки
Пусть D – плоская однородная материальная пластинка, т.е. ее толщина настолько мала, что ее массу можно определить формулой:
m = ρ s , где s – площадь, а ρ – плотность. Если пластинка неоднородна, то
понятие плотности определяется в каждой точке как предел средней плотности в окрестности радиуса R этой точки, когда R
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
стремится к нулю: ρ(М)= lim |
mокр. |
, (рис. 3.4), |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
R |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R→0 sокр. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=πR2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m |
– масса окрестности, |
s |
окр. |
– |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадь, |
|
mокр. |
– |
средняя |
|
плотность |
||||
|
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sокр. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пластинки |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в этой окрестности, а ρ(М) – плотность в точке M . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Рассмотрим |
теперь |
неоднородную пластинку |
D , |
лежащую |
в |
координатной плоскости xOy . Тогда, очевидно, в каждой точке M (x, y) D плотность ρ(М) зависит от координат точки M , т.е. является функцией двух переменных: ρ(М)= ρ(x, y). Пусть плотность ρ(x, y) известна. Найдем массу
пластинки. Находить массу однородной пластинки мы умеем, поэтому пластинку D разобьем на мелкие куски и каждый кусок будем приближенно считать однородным – это позволит найти приближенное значение массы m пластинки. Разобьем область D xOy , занимаемую пластинкой, произвольными
линиями на n частей, перенумеруем их D1, , Dn и обозначим их площади
83
соответственно ∆S1, , ∆Sп . Выберем в куске Di произвольную точку Mi(i =1, ,n ) и вычислим плотность в этих точках: ρ(M1 ), , ρ(M n ) (рис. 3.5).
y |
|
D |
Dn Mn |
Di |
|
O |
M2 |
|
x |
|
|
M1 |
D2 |
|
||
|
|
D1 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
Будем считать приближенно, что в каждой точке куска Di |
плотность |
||||
постоянна и равна плотности в точке Mi , т.е. |
ρ(Mi ) (i =1, ,n ). Масса mi |
||||
куска Di приближенно вычисляется по формуле mi ≈ ρ(Mi )∆Si |
(i =1, ,n ). |
Тогда для массы m всей пластинки справедливо приближенное равенство:
n |
n |
|
m = ∑mi ≈ ∑ρ(Mi )∆Si . |
(3.3) |
|
i=1 |
i=1 |
|
Чем мельче разбиение, тем точнее равенство (3.3). Проведем неограниченное измельчение разбиения области D , вычисляя для каждого разбиения приближенное значение массы по формуле (3.3). Если при неограниченном
измельчении разбиения области D сумма ∑n ρ(Mi )∆Si стремится к
i=1
конечному пределу, не зависящему от способов разбиения и выбора точек Mi , то этот предел считают равным массе m пластинки D :
m = lim |
∑n ρ(Mi )∆Si . |
(3.4) |
n→∞ |
i=1 |
|
max di →0 |
|
|
1≤i≤n |
|
|
При сравнении формул (3.2) и (3.4), видно, что объем тела и масса пластинки вычисляются по «похожим» формулам. Эти формулы приводят к новому математическому понятию, называемому двойным интегралом.
84
3.1.3. Определение двойного интеграла
Пусть в области D плоскости xOy задана функция двух переменных z = f (x, y). Разобьем область D произвольными линиями на части D1, , Dn , выберем в каждой Di произвольную точку Mi (i =1, ,n ) и составим сумму
|
Sn = ∑n f (Mi )∆Si , |
(3.5) |
|||
|
|
i=1 |
|
|
|
где ∆Si – |
площадь куска D |
. Сумму S |
n |
называют интегральной суммой для |
|
|
i |
|
|
|
|
функции |
f (x, y) в области |
D . Будем |
проводить |
процесс неограниченного |
измельчения разбиения области D , вычисляя для каждого разбиения сумму Sn .
Определение. Если при неограниченном измельчении разбиения области D интегральная сумма (3.5) стремится к конечному пределу, не зависящему от способов разбиения и выбора точек Mi , то этот предел
называют |
двойным интегралом |
от |
функции f (x, y) по области |
D и |
|
обозначают |
|
|
|
|
|
∫∫ f (M )ds или ∫∫ f (x, y)ds или ∫∫ f (x, y)dxdy . Иными словами, |
|
||||
D |
D |
D |
|
|
|
|
∫∫ f (M )ds = |
lim |
∑n f (Mi )∆Si . |
(3.6) |
|
|
D |
n |
→∞ |
i=1 |
|
|
|
max |
di →0 |
|
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
Замечание. Из определения следует, что двойной интеграл не обязательно существует, поэтому естественно возникает вопрос, для каких функций f (x, y) и областей D предел (3.6) существует.
Теорема. Если z = f (x, y) непрерывна на замкнутой области D , то ∫∫ f (x, y)dxdy существует.
D
Если сравнить (3.6) с (3.2) и (3.4), то становится очевидным геометрический и механический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции.
Если f (x, y)≥ 0 и непрерывна в D, то
∫∫ f (x, y)dxdy =V , |
(3.7) |
D |
|
где V – объем тела T , найденный по формуле (3.2), то есть равенство (3.7) говорит о геометрическом смысле двойного интеграла.
Если f (x, y)≥ 0 и непрерывна в D , то эту функцию можно считать
плотностью пластинки D, т.е. |
f (x, y)= ρ(x, y) и |
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ρ(x, y)dxdy = m , |
(3.8) |
|
D |
D |
|
где m – масса пластинки D . В этом состоит механический смысл двойного интеграла.
85
3.1.4. Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает свойствами, похожими на свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Двойной интеграл от суммы функций по области D равен сумме двух двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности:
∫∫(f1(x, y)+ f2 (x, y))ds = ∫∫ f1(x, y)ds + ∫∫ f2 (x, y)ds .
D D D
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла. Если a = const , то
∫∫af (x, y)ds = a∫∫ f (x, y)ds .
|
D |
D |
Свойство 3. Если область D разбита на две части D1 и D2 , имеющие |
||
общие точки лишь на линии разбиения, то |
|
|
∫∫ f (x, y)ds = ∫∫ f (x, y)ds + ∫∫ f (x, y)ds , |
||
D |
D1 |
D2 |
если эти двойные интегралы существуют (например, если f (x, y) непрерывна
в замкнутой области D ).
Свойство 4. Двойной интеграл от неотрицательной функции равен неотрицательному числу.
В главе 2 приводились доказательства свойств определенных интегралов. Свойства двойных интегралов доказываются аналогично.
3.1.5. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
|
|
|
|
Рассмотрим на плоскости |
xOy область D , ограниченную прямыми |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a , |
|
|
|
x = b |
(a < b) и г рафиками двух |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = g2(x) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций: y = g (x) |
|
и y = g |
|
(x), где |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g1(x) |
< |
g21(x) |
|
|
при |
|
|
2 |
x [a,b] |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 3.6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в области D задана |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывная |
|
функция |
z = f (x, y), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неотрицательная в D . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = g1(x) |
|
|
|
Рис. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим ∫∫ f (x, y)ds . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для |
|
|
|
вычисления |
|
|
|
|
воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
геометрическим смыслом двойного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g1(x) |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)ds =V , |
(3.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где V – объем тела (рис. 3.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
Этот же объем можно вычислить по формуле (2. 30), т.к. тело «зажато» между плоскостями x = a , x = b , т. е.
V = ∫b S(x)dx , |
(3.10) |
a |
|
где S(x) – площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку x, x [a,b], параллельно плоскости yOz (или перпендикулярно оси Ox ).
|
|
|
|
Очевидно, |
что |
сечение, |
z |
|
|
|
|||
|
|
имеющее площадь S(x), – это |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
криволинейная трапеция, лежащая в |
|||
|
|
|
плоскости, параллельной |
плоскости |
||
|
|
z = f (x, y) |
||||
|
|
yOz |
. Спроектируем ее на плоскость |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
yOz (рис. 3.8). |
|
|
Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, получаем, что площадь сечения S(x)
|
O |
|
g2(x) |
|
|
этого сечения вычисляется по |
g1(x) |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.8 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g2 (x)
S(x)= ∫ f (x, y)dy , (3.11)
g1(x)
где x фиксировано.
Подставляя S(x) из формулы (3.11) в формулу (3.10), находим V:
b g2 |
(x) |
(x, y)dy |
|
V = ∫ ∫ f |
dx . |
||
a g1 |
(x) |
|
|
Сравнивая последнее выражение с выражением (3.9), получаем формулу для вычисления исходного двойного интеграла:
|
b g2 |
(x) |
(x, y)dy |
|
|
∫∫ f (x, y)ds = ∫ ∫ f |
dx . |
(3.12) |
|||
D |
a g1 |
(x) |
|
|
|
Правая часть формулы (3.12) называется повторным интегралом (интегралом от интеграла). В скобках стоит внутренний интеграл, - это определенный интеграл от функции f (x, y) по переменной y на отрезке
[g1(x); g2 (x)] ( x в этом интеграле фиксирована, т.е. считается постоянной).
Вычислив внутренний интеграл, получим некоторую функцию, зависящую от x. Определенный интеграл от этой функции по отрезку [a,b] – внешний интеграл. Вычислив внешний интеграл, получим значение повторного интеграла, а значит, учитывая (3.12), искомое значение двойного интеграла.
Формула (3.12) доказана в случае неотрицательности функции
87
z = f (x, y) в области D. Можно доказать ее справедливость для любой
непрерывной в D функции.
Замечание. Формула (3.12) справедлива для области D специального вида (см. рис 3. 6). Если область D не такая, но разбивается на конечное число областей D1, , Dn специального вида, то двойной интеграл по области
D (с учетом свойства 3 двойных интегралов) представим в виде суммы двойных интегралов по областям D1, , Dn , для вычисления которых
|
|
|
|
|
|
|
|
применима формула (3.12). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
область D ограничена |
||
|
|
d |
|
|
|
|
|
двумя прямыми y = c , y = d (c < d) |
||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
и |
графиками |
функций |
x = h1(y), |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = h2 (y), |
где |
h1(y)≤ h2 (y) для |
|||
|
|
c |
|
|
|
|
|
y [c,d] (рис |
3. 9), то |
двойной |
||
|
|
x =h1(y) |
x=h2(y) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
интеграл от непрерывной в D |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
z = f (x, y) |
можно |
||
|
|
O |
|
|
|
x |
|
вычислить переходом к повторному |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
|
|
интегралу по формуле |
|
||||
|
|
|
|
d h2 |
(x) |
|
|
|
|
|
||
|
|
∫∫ f (x, y)ds = ∫ ∫ f (x, y)dx |
dy . |
|
|
(3.13) |
||||||
|
|
D |
|
c h1 |
(x) |
|
|
|
|
|
||
Здесь внутренний |
интеграл |
(стоящий в |
скобках) берется от |
функции |
z = f (x, y) по переменной x (y считается постоянной) в пределах от h1(y) до h2 (y). В результате получается функция, зависящая от y. Затем от этой функции берется внешний интеграл по переменной y в пределах от c до d.
Пример 3.1. Вычислить ∫∫(x − 2y)ds , где D – область, ограниченная прямыми
D
x = 0, x = 2, y = 1, y = 2. |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
Изобразим |
область D |
(рис. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.10). Область D – прямоугольник, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для его точек (x, y) справедливы |
2 |
|
|
|
y = 2 |
|
|
||||
неравенства 0 ≤ x ≤ 2 и 1≤ y ≤ 2 . |
|
|
|
D |
|
y = 1 |
|
|
|||
В таком случае (см. рис. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
и 3.9) можно применить любую из |
|
x = 0 |
x = 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
формул (3.12) или (3.13), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(x − |
|
|
∫∫(x − 2y)ds = ∫ |
∫(x − 2y)dy dx |
и ∫∫(x − 2y)ds = ∫ |
2y)dx dy . |
||||||||
D |
0 |
1 |
|
|
D |
1 |
0 |
|
88
Воспользуемся, например, первой формулой. Сначала вычислим внутренний интеграл, считая x константой:
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
y2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫(x − 2y)dy = ∫xdy − ∫2ydy =x∫dy − 2∫ydy |
= x y |
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= x(2 −1)− (22 −12 )= x − 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее подставим найденный внутренний интеграл вместо выражения |
||||||||||||||||||
в скобках во внешний интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
2 2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∫(x − |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫∫(x − 2y)ds = ∫ |
2y)dy dx = |
∫(x − 3)dx = |
2 |
|
− 3x |
|
|
|
||||||||||
D |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=22 − 3 2 − 0 = 2 − 6 = −4 . 2
Ответ. ∫∫(x − 2y)ds = −4 .
D
Пример 3.2. Вычислить ∫∫xyds , где D ограничена линиями y = x2 и
D
y = 2 − x2 .
Строим область D. Она ограничена двумя параболами (рис. 3.11).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
- |
1 |
O |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 – x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
|
|
|
|
||||||||
Область D можно считать ограниченной |
прямыми |
x = −1, x =1 и |
||||||||||||||||||||||
графиками функций |
y = x2 |
|
(снизу) и |
y = 2 − x2 |
|
(сверху); абсциссы точек |
||||||||||||||||||
пересечения парабол найдены из системы уравнений: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y |
= x |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||
y = x |
|
→ |
|
|
|
|
→ y = x |
|
→ y = x |
|
||||||||||||||
y = 2 − x2 |
|
|
x2 = 2 − x2 |
x2 =1 |
|
x = ±1. |
||||||||||||||||||
Применим формулу (3.12), |
в которой а = -1, b =1, |
g1(x)= x2 , g2 (x)= 2 − x2 . |
||||||||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
|
|
|
|
|
|
1 2−x2 |
|
|||
|
|
∫∫xyds = ∫ |
∫xydy |
dx . |
||||||
|
|
D |
|
|
−1 |
x2 |
|
|||
Вычислим внутренний интеграл, считая x = const : |
||||||||||
2−x2 |
2−x2 |
|
y |
2 |
|
2 − |
2x |
2 |
x |
((2 − x2 )2 − (x2 )2 )= |
|
|
|||||||||
∫xydy = x |
∫ydy =x |
|
|
= |
||||||
|
|
|
x |
|
||||||
x2 |
x2 |
2 |
|
|
2 |
|
= 2x (4 − 4x2 )= 2x − 2x3 = 2(x − x3 ).
Подставляя найденную функцию вместо выражения в скобках во внешний интеграл, получаем
|
1 2−x2 |
|
1 |
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫∫xyds = ∫ |
∫xydy |
dx = ∫2(x − x |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
− |
|
|
− 2 |
|
− |
|
= 0 . |
||
|
)dx = 2 |
2 |
4 |
|
|
−1 |
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||||||||
D |
−1 |
x2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. ∫∫xyds = 0 . |
|
Пример 3.3. Вычислить ∫∫(x +1)ds , где |
||||||||
|
D |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
D |
|
|
|
D |
|
|
ABC: |
|
|
|
ограничена |
треугольником |
||||||
|
|
|
А(1, 1), В(2, 2), С(4, 1). |
|
|
|
||||
|
B |
|
|
|
Изобразим область D (рис.3.12) |
|||||
2 |
|
|
|
Очевидно, |
уравнение |
прямой |
||||
D |
|
|
|
|||||||
|
C |
AB : |
y = x , а уравнение прямой |
AC : |
||||||
1 |
A |
|||||||||
|
|
y =1. |
Используя |
вид |
уравнения |
|||||
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой, проходящей через две данные |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, |
составим |
уравнение прямой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
y − x1 |
|
|
|
x − x1 |
|
|
|
|
|
|
|
BC . Общий вид |
такого уравнения: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
. Подставляя в него координаты точек B и C , получим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
− y |
|
|
|
x |
2 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y − 2 |
|
x − 2 |
|
|
|
y − 2 |
|
x − 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
или |
|
= |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
4 − 2 |
|
|
|
−1 |
2 |
|
откуда уравнение BC : x + 2y − 6 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Из рис. 3.12 видно, что область D |
|
y |
|
|
|
|
|||||
ограничена сверху ломаной АВС, |
|
|
|
|
|
|
|||||
составленной из графиков двух функций, |
|
|
B |
|
|
|
|||||
поэтому для применения формулы (3.12) |
2 |
y = x |
D2 |
|
|
||||||
область D нужно разбить на две части D1 |
1 |
D1 |
C |
|
|||||||
A |
y = 1 |
|
|||||||||
и D2 (рис. 3.13). Область D1 |
ограничена |
|
|
|
|
|
|
||||
прямыми |
x =1, |
x = 2, |
y =1 |
(снизу) и |
O |
1 |
2 |
3 |
4 |
x |
|
y = x (сверху), а область D2 |
ограничена |
||||||||||
|
|
Рис. 3.13 |
|
|
прямыми x = 2, x = 4 , y =1 (снизу), а сверху - прямой y = 6 −2 x (y найдено
90