(t −1)(t +1) +1

1

t2

= 3∫

dt

= 3∫ t +1 +

dt = 3

+ t + ln

t

−1

+ C .

t

−1

t −1

2

Т.к. t = 6

2x +1

, окончательно будем иметь

3

dx

2x +1

6

6

∫

2

= 3

+

2x +1

+ ln

2x +1

−1

+ C .

3 (2x +1)

−

2x +1

2

1.9.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

I. Рассмотрим интеграл вида

∫R(sin x,cos x)dx .

(1.17)

Этот интеграл с помощью подстановки

tg

x

= t

(1.18)

2

всегда сводится к интегралу от рациональной функции.

Выразим

sin x и

cos x через tg

x

, а следовательно, и через t:

2

x

x

x

x

x

x

2

2

sin 2

2sin

cos

cos2

cos

− sin

2

2

2

sin x =

=

, cos x =

2

=

2

2

,

1

x

2 x

sin

2

+ cos

1

cos

2

x

+ sin

2

x

2

2

x

2

2

разделим числитель и знаменатель на cos2

:

x

2

x

2tg

2t

1

− tg

2

1 −t2

2

sin x =

=

2

, cos x =

=1 + t2 .

x

1 + t2

+ tg

2

2

x

1

2

1

+ tg

2

Выражаем переменную x через t : x = 2arctg t , dx =

2dt

.

1

+ t2

Таким образом, sin x , cos x и dx выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1.17), получим интеграл от рациональной функции:

	2t			1	−t2				2dt
∫R(sin x,cos x)dx = ∫R			,									.
	1 + t	2		1	+ t	2		1		+ t	2

37

Пример 1.41. Найти интеграл ∫

dx

.

sin x

x

2dt

2t

Применим подстановку (1.18), то есть

t = tg

,

dx =

,

sin x =

.

Поэтому

2

1 + t2

1 + t2

2dt

dx

= ∫dt

x

∫

= ∫

1 + t2

= ln

t

+ C = ln

tg

+ C .

sin x

2t

t

2

1 + t2

dx

Пример 1.42. Найти интеграл ∫

.

4sin x + 3cos x + 5

Подынтегральная функция рационально зависит от sin x

и cos x ; применим

подстановку (1.18),

тогда

2dt

2t

1 − t2

t = tg

x

, dx =

,

sin x =

, cos x =

1 + t

1 + t2

1 + t2

и

2

2

dx

2dt

dt

dt

1

∫

= ∫

1 + t2

=

2∫

=

∫

= −

+ C .

4sin x + 3cos x + 5

8t

1 − t

2

2t

2

+8t

+8

2

t +

2

+ 5

(t + 2)

+

31 + t2

1 + t2

Возвращаясь к переменной x, получим

∫

dx

= −

1

+ C .

4sin x + 3cos x + 5

tg

x

+ 2

2

Рассмотренная

подстановка

дает

возможность

проинтегрировать

всякую функцию вида R(sin x,cos x). Поэтому ее называют «универсальной

тригонометрической подстановкой». Однако на практике она иногда приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной тригонометрической подстановкой» полезно знать также другие тригонометрические подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1. Если R(sin x,cos x) - нечетная функция относительно	sin x ,	т.е. если
R(−sin x,cos x)= − R(sin x,cos x), то удобна подстановка cos x =t .
2. Если R(sin x,cos x) - нечетная функция относительно	cos x ,	т.е. если
R(sin x,−cos x)= − R(sin x,cos x), то применяют подстановку sin x =t .
3. Если R(sin x,cos x) - четная функция относительно sin x	и cos x , то есть
R(− sin x,−cos x)= R(sin x,cos x), или подынтегральная функция		зависит
только от tg x, то в интеграле делают подстановку tg x = t .

38

Пример 1.43. Найти интеграл ∫

sin x

dx .

cos2x

Здесь R(sin x,cos x)=

sin x

.

cos2 x − sin2 x

Видно, что

− sin x

sin x

R(− sin x,cos x)=

= −

= −R(sin x,cos x),

cos2 x − sin2 x

cos2 x − sin2 x

т.е. подынтегральная функция нечетна относительно

sin x .

Делаем замену

cos x =t , dt = −sin xdx . Теперь

∫

sin xdx

= ∫

− (− sin xdx)

=

∫

− dt

= −

1

∫

dt

=

cos

2

x − sin

2

x

2cos

2

x −1

2t

2

−

1

2

t2

−

1

1

2

t −

= −

1

1

ln

2

+ C = −

1

ln

2

cos x −1

+ C .

2

1

1

2

t +

2

2

2 cos x +1

2

2

Пример 1.44. Найти интеграл ∫tg3 xdx .

Делаем замену t = tgx , x = arctgt , dx =1 +dtt2 , тогда

∫tg3 xdx = ∫t3 t2dt+1 = ∫(t3t+2 +t)1−t dt = ∫ t − t2 t+1 dt =

t2

d (t2 +1)

t2

1

2

tg2 (x)

1

2

=

− ∫ 2(t2 +1)

=

−

2 ln

t

+1

+ C =

2

−

2 ln

tg

x +1

+ C .

2

2

II. Рассмотрим частный случай интеграла ∫R(sin x,cos x)dx , а именно

∫sinm xcosn xdx,

где m и n – натуральные числа. Возможны два случая:

а) хотя бы одно из чисел m и n нечетное. Допустив для определенности, что n нечетное (n = 2p + 1), преобразуем данный интеграл:

∫sinm xcosn xdx = ∫sinm xcos2 p+1 xdx = ∫sinm xcos2 p xcos xdx = = ∫sinm x(1 − sin2 x) p cos xdx .

Т.к. подынтегральная функция нечетна по cos x , то делаем замену: sin x = t , cos xdx = dt .

39

Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим:

∫sinm xcosn xdx = ∫tm (1 − t2 )p dt ,

т.е. получаем интеграл от рациональной функции от t.
б) числа m и n – четные: m = 2p,		n = 2q. Применим формулы, известные из
тригонометрии:
sin2 α =1 − cos2α		, cos2 α =1 − cos2α .					(1.19)
	2				2
Тогда
∫sinm xcosn xdx = ∫sin2 p xcos2q xdx = ∫(sin2						x) p (cos2 x)q dx =
	1 − cos2x p		1	+ cos2x q		dx .
= ∫	2			2

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим слагаемые, содержащие cos2x в нечетных и четных степенях. Слагаемые с нечетными степенями cos2x интегрируются, как указано в случае а). Четные показатели степеней снова понижаем по формулам (1.19). Продолжая так, придем к интегралам вида ∫coskxdx.

Пример 1.45. Найти интеграл ∫sin4 xcos5 xdx . Перепишем интеграл в виде

∫sin4 xcos5 xdx = ∫sin4 xcos4 xcos xdx .

Введем замену переменной: sin x = t , cos xdx = dt ,

после чего ∫sin4 xcos5 xdx = ∫sin4 x(1 − sin2 x)2 cos xdx = ∫t4 (1 −t2 )2 dt =

= ∫(t4 − 2t6 + t8 )dt = t5	−	2t7	+ t9	+ C и т.к. t = sin x , окончательно получаем
5		7	9
∫sin4 xcos5 xdx = sin5 x					−	2sin7 x	+ sin9 x	+ C .
				5		7	9

Пример 1.46. Найти интеграл ∫sin3 xcos3 xdx .

Обе тригонометрические функции в нечетных степенях. Поэтому в

качестве t можно взять любую из них. Пусть, например, cos x = t , − sin xdx = dt . Получим

∫sin3 xcos3 xdx = ∫sin2 xcos3 xsin xdx = ∫(1 − cos2 x)cos3 xsin xdx =

= −∫(1 −t2 )t3dt = −∫(t3 −t5 )dt = t6	− t4	+ C = cos6 x	− cos4 x	+ C .
6	4	6	4

40

Пример 1.47. Найти интеграл ∫sin2 xcos2 xdx .

У тригонометрических функций, стоящих под знаком интеграла, степени четные. Понизим степени этих функций, используя формулы (1.19):

		∫sin2 xcos2 xdx = ∫1 − cos2x	1 + cos2x dx =					1	∫(1 − cos2 2x)dx =
	2		2					4
=		cos 2x в четной степени, поэтому снова			=	1	∫sin		2	2xdx =	1	∫	1	− cos 4x	dx =
		применим формулы (1.19), где α = 2х				4					4			2

=18 ∫(1 − cos4x)dx = 18 x − 321 sin 4x + C .

III.Рассмотрим в заключение интегралы вида

∫cosmxcosnxdx , ∫sin mxcosnxdx , ∫sin mxsin nxdx , m ≠ n , m,n R .

Используем формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

cosmxcosnx = 12 (cos(m + n)x + cos(m − n)x), sin mxcosnx = 12 (sin(m + n)x + sin(m − n)x),

sin mx sin nx = 12 (− cos(m + n)x + cos(m − n)x).

Тогда

∫cos mx cos nxdx =	1	∫(cos(m + n)x + cos(m − n)x)dx =		sin(m + n)x	+	sin(m − n)x			+ C .
	2			2(m + n)			2(m − n)
Интегралы вида	∫sin mxcosnxdx ,		∫sin mxsin nxdx могут				быть	найдены
аналогично.

Пример 1.48. Найти интеграл ∫sin 5x sin 3xdx .

Воспользовавшись последней из вышеприведенных формул, получим

∫sin 5x sin 3xdx =	1	∫(− cos8x + cos 2x)dx = −	sin 8x	+	sin 2x	+ C .
	2		16		4

1.10.«Неберущиеся» интегралы

Вп. 1.1 мы уже отмечали (без доказательства), что всякая непрерывная на интервале (а, b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную, т.е. существует такая функция F(x), что F′(x) = f(x). Однако даже у некоторых элементарных функций f(x) первообразные F(x) не являются элементарными функциями. Обычно неопределенные интегралы от таких функций f(x) называют неберущимися. К неберущимся относятся, например,

∫e−x2 dx , ∫sinx x dx , ∫cosx x dx , ∫1 − k 2 sin2 xdx , k ≠ ±1, ∫lndxx .

41

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1.Определенный интеграл

2.1.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о площади криволинейной трапеции

			Пусть на плоскости задана
		прямоугольная		xOy		система
		координат					и
		рассматривается				фигура,
		ограниченная прямыми				x = a ,
		x =b	( a <b),	осью		Ox	и
		графиком непрерывной на [a b;]
		функции y = f (x)			( f (x)≥ 0		на
		[a b;]), рис. 2.1.
			Эту фигуру будем называть
Рис. 2.1		криволинейной		трапецией.			Нас
интересует площадь	S	этой фигуры. Идея	отыскания	S	следующая:

построить фигуру, «близкую» к данной, причем такую, площадь которой мы умеем найти. Затем построить фигуру, еще более «близкую» к данной, и так далее. Получим последовательность площадей таких фигур и найдем предел этой последовательности, если он существует. Этот предел считают равным площади данной криволинейной трапеции. «Близкие» фигуры строят,

составленными из прямоугольников.	Для этого	разбивают отрезок [a b;]
	произвольными			точками
	x0 = a, x1 , , xn = b		на	n	частей
	(рис. 2.1). Через эти точки
	проводят прямые,		параллельные
	Oy . Фигура разбивается на n
	полосок, каждую из которых
	заменяют			близким
	прямоугольником. Для этого на
	каждом	отрезке			[xi−1 , xi ]
	(i =1, ,n ) разбиения				отрезка
Рис. 2.2	[a;b] выбирают		произвольную
точку ci , вычисляют в этой точке	значение	функции	f (ci )	и	строят

прямоугольник с основанием [xi−1 , xi ] и высотой, равной f (ci ) (см. рис. 2.2). Площадь Sn построенной фигуры равна сумме площадей прямоугольников, т.е.

Sn = f (c1 )(x1 − x0 )+ + f (cn )(xn − xn−1 ).

42

Введем обозначения:

x1 − x0 = ∆x1 , , xi − xi−1 = ∆xi , , xn − xn−1 = ∆xn ,

тогда Sn = f (c1 )∆x1 + + f (cn )∆xn .

Теперь используем знак суммирования конечного числа членов последовательности:

				n
			a1 + + an = ∑ai .
Площадь Sn	запишется в виде			i=1
			Sn = ∑n	f (ci )∆xi .			(2.1)
		[a b;]	i=1
Если разбиение отрезка			сделать	мельче, то	найденная	по	такому
разбиению	площадь Sn	будет	ближе	к искомой	площади	S ,	поэтому

построим последовательность фигур, проводя неограниченное измельчение разбиения отрезка [a b;]. Это значит, что число n отрезков разбиения мы

устремим к бесконечности и при этом длины всех отрезков разбиения должны стремится к нулю. Записать это можно так: n → ∞, max ∆xi → 0 .

1≤i≤n

Предел последовательности Sn площадей этих фигур по определению будем считать равным площади S , т.е. с учетом (2.1)

S =	lim	∑n f (ci )∆xi .	(2.2)
	n→∞	i=1
	max ∆xi →0
	1≤i≤n
Задача о работе переменной силы
Пусть под действием некоторой		силы F материальная	точка M

движется по прямой Ox , причем направление силы совпадает с

направлением движения.			Требуется найти работу, произведенную силой				F
при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b .
Если сила F постоянна, то работа A выражается произведением силы
F на длину пути, т.е.		A = F(b − a).
Предположим,		что	сила F	непрерывно меняется в зависимости			от
положения материальной			точки,	т.е.	представляет собой	функцию F(x),
непрерывную на отрезке a ≤ x ≤ b .
Разобьем	отрезок		[a b;]	на	n произвольных	частей точками
x0 = a, x1 , , xn	= b , выберем в каждой части [xi−1 , xi ] произвольную точку сi						и

вычислим значение силы F(ci ) в этой точке. Приближенно будем считать,

что на каждом отрезке разбиения действует постоянная сила, а именно: на [x0 , x1 ] - сила F(c1 ), на [x1 , x2 ] - сила F(c2 ) и т.д., и соответственно работа

данной силы F(x) на каждом участке [xi−1 , xi ] приближенно равна F(ci )(xi−1 − xi )= F(ci )∆xi . Очевидно, получаем приближенную формулу для

43