- •ВВЕДЕНИЕ
- •Пособие по интегральному исчислению предназначено для студентов заочной формы обучения, но, безусловно, может быть использовано и студентами дневной формы всех специальностей ВГАСУ.
- •Без интегралов не может обойтись ни физика, ни химия, ни теоретическая механика, ни строительная механика и т.д. и т.п., а значит, практически все инженерные дисциплины.
- •Авторы настоятельно советуют внимательно читать и разбирать теоретические вопросы, прежде чем использовать полученные формулы для вычисления интегралов (их использование достаточно простое для читателя, освоившего первую главу).
- •Во второй и третьей главах подробно разобрано множество примеров и задач, объясняется выбор формулы при решении каждой задачи.
- •Авторы надеются, что данное пособие поможет читателям в освоении материала – сложного и очень важного для дальнейшего обучения.
- •1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойство 1.1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
- •Свойство 1.3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
- •1.2. Таблица интегралов
- •1. Если
- •3. Если
- •Воспользовавшись формулой 3 таблицы интегралов и формулой (1.11) (a = 2, b = -6) получим
- •Обозначим:
- •Тогда
- •По формуле (1.12) получим
- •1.6. Интегрирование рациональных функций
- •1.8. Интегралы от некоторых иррациональных выражений
- •I. Рассмотрим интеграл вида
- •2.1.2. Определение определенного интеграла
- •2.1.3. Свойства определенного интеграла
- •2.1.4. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2.1.5. Формула Ньютона-Лейбница
- •2.1.6. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.1.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.1.8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.1.8.5. Объем тел вращения
- •2.2. Несобственные интегралы
- •3.1. Двойные интегралы
- •3.1.1. Задача об объеме цилиндрического тела
- •3.1.2. Задача о массе неоднородной пластинки
- •3.1.3. Определение двойного интеграла
- •Имеем
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •1. Какие из перечисленных интегралов можно найти только с помощью формулы интегрирования по частям:
- •4. Что такое универсальная подстановка?
- •7. Чем отличаются формулы интегрирования по частям в неопределенном и определенном интегралах?
- •8. Какие из перечисленных интегралов являются несобственными:
|
∫ f |
′ |
|
(1.8) |
|
(x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ (t)dt , |
|||
где |
после интегрирования в правой части |
равенства вместо t |
будет |
|
поставлено его выражение через x, т.е. функция, обратная к x = φ(t). |
|
|||
g(x) |
Замечание 1.1. Если мы хотим сделать замену t = g(x), то функция |
|||
должна «хорошо» |
подводиться под |
знак дифференциала. |
Т.к. |
dg(x)= g′(x)dx , то если подынтегральное выражение содержит множителем производную некоторой функции g(x), а остальная часть подынтегральной
функции легко выражается через эту функцию , то в качестве новой переменной напрашивается именно эта функция.
Например, |
|
найти |
|
|
|
|
xdx |
|
Здесь множителем в числителе служит x. |
|||||||||||||||||||||
|
∫ x4 |
+ 9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция x – это почти производная |
от x2 . |
Знаменатель |
x4 + 9 |
легко |
||||||||||||||||||||||||||
выражается через x2 : |
x4 |
+ 9 = (x2 )2 |
+ 9. |
Попробуем сделать |
замену |
t = x2 . |
||||||||||||||||||||||||
Тогда d(x2 )= 2xdx = dt , откуда xdx = dt . Получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
xdx |
|
= ∫ |
|
|
2 dt |
= |
1 |
∫ |
|
dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
9 |
t |
2 |
|
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
+ |
|
+ 9 |
|
|
+ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
воспользуемся табличной формулой 11, где в роли переменной х |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
будет переменная t и постоянная a2 = 9, т.е. а = 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
1 |
1 arctg |
t |
+ C = |
|
t = x2 |
|
= |
1 arctg |
x2 |
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При вычислении неопределенных интегралов удобно использовать |
||||||||||||||||||||||||||||||
следующие правила: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x) dx = F(x) + C , |
|
|
|
|
||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (ax)dx = |
1 F(ax) + C. |
|
(1.9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Действительно, делая замену t = ax , |
x = |
t |
, dx = dt |
, получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (ax)dx = ∫ |
f (t) dt |
= 1 F |
(t)+ C = |
1 F(ax)+ C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
12
2. Если
∫ f (x) dx = F(x) + C ,
то
|
|
|
∫ f (x + b)dx = F(x + b) + C. |
|
|
|
|
(1.10) |
|||
3. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ f (x) dx = F(x) + C , |
|
|
|
|
|
|||
то |
∫ f (ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенства (1.10) и |
(1.11) получаются с |
помощью замен |
t = x + b и |
||||||||
t = ax + b . |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1.6. Найти неопределенный интеграл ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
x + 3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используем формулу 2 таблицы интегралов. Здесь f(x) |
= |
, и если |
|||||||||
взять в качестве подынтегральной функции f(x + 3) = |
1 |
|
, то получим |
||||||||
x + 3 |
|
||||||||||
искомый интеграл ∫ |
dx |
|
. По формуле (1.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫xdx+ 3 = ln x + 3 + C .
Пример 1.7. Найти неопределенный интеграл ∫cos7x dx .
Воспользуемся формулой 4 таблицы интегралов ∫cos xdx . В искомом интеграле вместо х стоит 7х. Учитывая формулу (1.9), где a = 7, имеем
∫cos7x dx = 17 sin 7x + C .
Пример 1.8. Найти неопределенный интеграл ∫sin(2x − 6)dx .
Воспользовавшись формулой 3 таблицы интегралов и формулой (1.11) (a = 2, b = -6) получим
∫sin(2x −6)dx = −12 cos(2x −6)+C .
13
Теперь приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменной.
Пример 1.9. Найти неопределенный интеграл ∫sin x cos xdx .
Сделаем |
подстановку sin x = t , тогда |
dt = cos xdx. Таким образом, |
|||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
cos xdx = ∫ |
|
|
2t3 2 |
+ C = |
2 sin3 2 |
x + C . |
|
sin x |
tdt = ∫t1 2 dt = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
Пример 1.10. Найти неопределенный интеграл ∫costgxdx2 x .
|
В |
подынтегральном |
выражении |
присутствует |
функция tgx |
и ее |
||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производная (tgx) = |
|
|
|
. |
|
Поэтому сделаем |
замену |
переменной: |
t = tgx , |
|||||||||||
cos2 x |
|
|||||||||||||||||||
dt = |
dx |
|
. Следовательно, |
∫ |
tgxdx2 |
= ∫tdt = t2 + C = tg 2 x |
+ C . |
|
||||||||||||
2 |
x |
|
||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
Пример 1.11. Найти неопределенный интеграл ∫arcsin2 xdx2 . |
|
||||||||||||||||||
Очевидно, (arcsin x)′ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. Поэтому сделаем замену t = arcsin x , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 − x2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt = |
|
|
|
dx |
|
|
|
и ∫arcsin2 xdx2 |
= ∫t2dt = arcsin3 x + C . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
3 |
|
|
Пример 1.12. Найти неопределенный интеграл ∫1xdx+ x2 .
Здесь важно вспомнить, что (1 + x2 )′ = 2x , то есть числитель подынтегральной функции – это почти производная знаменателя. Делаем
замену переменной: t =1 + x2 , dt = 2xdx , т.е. xdx = |
1 dt . |
||||||||
|
xdx |
= ∫dt |
|
|
∫dt |
|
|
|
2 |
Получим ∫ |
= |
1 |
= |
1 lnt + C = |
1 ln(1 + x2 )+ C . |
||||
2 |
2 |
||||||||
|
1 + x |
2t |
|
t |
|
2 |
2 |
|
Пример 1.13. Найти неопределенный интеграл ∫ xdxln x .
В этом интеграле сложно увидеть функцию и ее производную из-за того, что функции x и ln x стоят в знаменателе, но учитывая, что 1x = (ln x)′,
замена очевидна: t = ln x , dt = dxx .
14
Получаем ∫ xdxln x = ∫dtt = lnt + C = ln ln x + C .
Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. По существу, изучение методов интегрирования разных классов функций сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.
1.4. Интегралы от некоторых функций, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен
I. Рассмотрим интеграл I1 |
= |
|
|
dx |
. |
|
∫ax2 |
+ bx + c |
|||||
|
|
|
Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов, т.е. выделим в квадратном трехчлене полный квадрат:
|
2 |
|
2 |
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
b |
|
|
|
|
b 2 |
|
c |
|
|
b 2 |
|
|
||||||||||||
ax |
|
+ bx + c = a x |
|
+ |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
= a x |
|
+ 2 |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
2a |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
2 |
c |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= a x + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= a x + |
|
|
|
|
± k |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
b2 |
|
|
|
= ±k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь мы введем обозначение |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
. Знак плюс или минус берется |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4a2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным
или отрицательным, т.е. будут ли |
|
корни |
трехчлена |
ax2 |
+ bx + c |
||||||||||||||||||
комплексными или действительными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интеграл I1 |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
= 1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
b |
|
|
1 ∫ |
|
dx |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I1 = ∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
= |
x + |
|
= t |
|
= |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
||||||||||||||||
ax |
2 |
|
|
b |
2 |
|
t |
2 2 |
|
||||||||||||||
|
+ bx + c |
a |
|
|
2 |
|
dx = dt |
|
|
a |
|
± k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
± k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приходим к табличным интегралам (см. формулы 11, 12 или 1 при k 2 |
= 0 ). |
||||||||||||||||||||||
Пример 1.14. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2x2 + 8x + 20 |
|
|
|
|
|
|
Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегрального выражения:
2x2 + 8x + 20 = 2(x2 + 4x +10)= 2(x2 + 2 2x + 22 − 22 +10)= 2((x + 2)2 + 6).
Возвращаясь к интегралу, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I = ∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
1 |
∫ |
dx |
|
1 |
∫ |
d(x + 2) |
|
|
2((x + 2)2 + 6)= |
2 |
|
= |
2 |
|
. |
||||
2x2 + 8x + 20 |
(x + 2)2 + 6 |
(x + 2)2 + 6 |
15
Получили табличный интеграл (см. табличную |
|
|
формулу 11'), |
где в роли |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной |
|
|
интегрирования |
|
|
выражение |
|
|
(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
и |
|
a2 |
= 6 |
|
|
|
(a = |
|
). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окончательно получаем I = |
1 |
1 |
|
|
arctg |
x + |
2 |
+ C = |
|
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
x + |
2 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
dx |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 1.15. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x2 |
+ 5x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене, стоящем в знаменателе: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
49 |
|
||||||||||||||||||
3x |
2 |
+ 5x − 2 |
|
|
|
2 |
+ |
x − |
|
|
|
2 |
+ 2 |
x + |
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 3 x |
|
|
= |
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
36 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
36 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим полученное выражение в исходный интеграл. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∫ |
|
|
|
|
d x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 5x − 2 |
|
|
|
|
5 |
− |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
Получили табличный интеграл (см.(12)), в котором |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
роль переменной играет сумма (x + 5) и a |
2 |
= |
49 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
a = |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
3 ln |
x + |
|
6 |
− |
6 |
|
|
+ C = |
1 ln |
x − 3 |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
x + |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Рассмотрим интеграл более общего вида I2 = ∫ax2 + bx + c dx .
Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции, выделив в числителе производную знаменателя. Так как производная
знаменателя равна (ax2 + bx + c)′ = 2ax + b , то преобразуем подынтегральную функцию, вынося A за интеграл и создавая в числителе выражение (2ax + b).
Для этого сначала разделим и умножим дробь на 2a, а затем добавим к 2ax число b, и, отнимем это же число в числителе дроби:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
B |
|
|
|
|
|
|
2ax + |
2aB |
|
||
I2 = |
|
Ax + B |
|
dx = A |
|
+ A |
|
dx = |
|
A |
|
A |
dx = |
||||||||
∫ax2 + bx + c |
∫ax2 + bx |
+ c |
2a ∫ax2 + bx + c |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
(2ax + b)+ |
2aB |
− b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
dx . |
|
|
|
|||||
|
|
|
2a |
|
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Разделим числитель почленно на знаменатель:
|
|
|
A |
|
(2ax + b) |
|
|
|
A |
|
2aB |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
I2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
|
− b |
|
|
|
|
= |
||
|
2a ∫ax2 + bx + c |
2a |
|
A |
|
|
|
+ c |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ax2 + bx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
(2ax + b) |
|
|
|
|
Ab |
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
+ B |
− |
|
∫ |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
2a |
|
ax |
2 |
+ bx |
+ c |
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
Второй интеграл есть интеграл I1, вычислять который мы умеем.
В первом интеграле сделаем замену переменной t = ax2 + bx + c , dt = (2ax + b)dx . Следовательно,
∫ |
(2ax + b) |
|
dx = ∫dt |
|
= ln |
|
t |
|
+ C = ln |
|
ax2 + bx + c |
|
+ C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
ax + bx + c |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ab |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I2 |
= |
|
ln |
ax |
|
+ bx + c |
|
+ B − |
|
I1 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|||
Пример 1.16. Вычислить интеграл ∫ |
|
x + 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||
x2 |
− 2x −5 |
||||||||||||||||||||
Применим указанный прием. Для этого найдем сначала производную |
|||||||||||||||||||||
знаменателя (x2 − 2x − 5)′ |
= 2x − 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим полученную производную в числителе подынтегральной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 2, а затем отнимем и прибавим в числителе 2. Имеем
I = ∫ |
|
|
x + 3 |
|
|
dx = |
1 ∫ |
|
|
2x + 6 |
dx = |
1 ∫ |
2x |
2− 2 + 2 + 6dx = |
|||||||
x |
2 |
− 2x − 5 |
x |
2 |
− 2x − 5 |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
− 2x − 5 |
||||||||
|
|
|
= |
1 |
∫ |
|
2x − 2 |
|
dx + 4∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|||||
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
x |
2 |
− 2x − 5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2x − 5 |
|
|
|
|
Далее в первом интеграле сделаем замену t = x2 − 2x − 5, dt = (2x − 2)dx , а во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе. Получим:
|
1 |
|
dt |
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x −1− |
|
|
|
|
||||||||
I = |
∫ |
+ 4∫ |
|
= |
ln |
|
t |
|
|
+ 4 |
|
|
ln |
6 |
|
|
+C = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
t |
(x −1) |
2 |
−6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x −1+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 6 |
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ln |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x −1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
x2 |
− 2x −5 |
|
+ |
|
|
ln |
|
6 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
x −1+ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 1.17. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
3x − 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5x2 −3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В подынтегральной дроби в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе многочлен первой степени. Находим производную знаменателя:
17
(5x2 −3x + 2)′ |
|
=10x −3 |
|
и |
|
выделяем |
|
полученное |
|
|
|
|
выражение |
|
в |
числителе. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вынесем из числителя 3 за знак интеграла, умножим и разделим всю дробь |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на 10, а затем в числителе отнимем и прибавим 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10x − |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
|
|
3x − 2 |
|
dx = 3∫ |
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
−3 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5x2 −3x + 2 |
5x2 −3x + 2 |
10 |
|
|
5x2 −3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
10x −3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 − |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
10x −3 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
dx + |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx − |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
5x |
2 |
|
−3x + 2 |
10 |
|
5x |
2 |
− |
3x |
+ 2 |
10 |
5x |
2 |
−3x |
+ 2 |
10 |
|
5x |
2 |
|
−3x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В первом интеграле сделаем замену t = 5x2 |
− 3x + 2, |
|
dt = (10x −3)dx , |
|
а во |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
31 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5x |
|
−3x + 2 = 5 x |
|
− |
|
|
x + |
|
|
|
= 5 x |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
100 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dt |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I |
= |
|
∫ |
− |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln |
|
t |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
10 |
|
+C = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
t |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=103 ln 5x2 −3x + 2 − 51131 arctg 10x31−3 +C . III. Рассмотрим интеграл
dx
∫ax2 +bx + c .
Спомощью выделения полного квадрата в подкоренном выражении этот интеграл сводится в зависимости от знака a, к табличным интегралам (см. формулы 13' и 14) вида
|
|
dt |
|
при а > 0 или |
|
|
dt |
|
при а < 0. |
||||
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||
t 2 ± k 2 |
|
k 2 −t 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 1.18. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x2 |
+8x + 20 |
|
|
В знаменателе подынтегральной функции стоит корень из квадратного трехчлена. Поэтому преобразуем интеграл, выделив полный квадрат в подкоренном выражении:
I = ∫ |
|
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
|
dx |
= |
1 |
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
|
∫ |
|
d(x + 2) |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2(x |
2 |
+ 4x +10) |
2 |
|
|
(x + 2) |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
2x |
+8x + 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 |
|
|
|
|
|
(x + 2) |
+ 6 |
|
|
18
|
Используя табличную формулу 14 (вместо x подставим (x + 2) и |
a = |
|
|
), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I = |
|
ln |
x + 2 + |
(x + 2)2 + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 1.19. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
−3x − 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
41 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
−3x − 4x |
|
= −4 x |
|
+ |
|
x − |
|
= −4 x |
|
+ 2 |
|
|
x + |
|
|
− |
|
− |
|
x + |
|
|
− |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
64 64 2 |
|
|
8 |
|
|
|
64 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим теперь полученное выражение в исходный интеграл. Из отрицательного числа (-4) квадратный корень извлекается, поэтому, в наших
преобразованиях будем выносить из-под знака корня 4 = 2, а минус внесем в скобки. Получаем
I = ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 − 3x |
− 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
41 |
|
41 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
64 |
|
|
|
64 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Последний интеграл является табличным (см. формулу 13') ( a |
2 |
= |
41 |
, |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
64 |
x + |
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в роли x), поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
I = |
1 arcsin |
+ 8 |
|
+C = |
1 arcsin |
8x |
+ |
3 +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
IV. Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
Ax + B |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 |
+ bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
вычисляется с помощью таких же преобразований, как ранее при вычислении I2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1.20. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 − 2x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данный интеграл отличается от интеграла в примере 1.15 только наличием радикала в знаменателе. Проведем те же преобразования, что и в примере 1.15, т.е. сначала выделим в числителе производную подкоренного выражения равную (2x − 2), а затем разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов:
19
I = ∫ |
|
|
x + 3 |
|
dx = 1 ∫ |
|
|
2x + 6 |
|
dx = |
1 ∫ |
2x − |
2 + 2 + 6dx = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
2 |
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
− 2x − 5 |
|
|
|
2 |
|
− 2x − 5 |
|
|
|
|
|
2 |
x − 2x − 5 |
|||||||||
|
|
|
= 1 ∫ |
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
dx + 4∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 5 |
|
|
x |
2 |
− 2x − 5 |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Далее в первом интеграле сделаем замену t = x2 |
|
− 2x − 5, dt = (2x − 2)dx , а во |
втором интеграле выделим полный квадрат в подкоренном выражении. Получим
|
1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = |
||||
I = |
∫ |
|
+ 4∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ 4ln |
x −1 + |
(x −1)2 − 6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
(x −1) |
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ 4ln |
x −1 |
(x −1)2 − 6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
− 2x − 5 |
||||||||||||||||||||||
Пример 1.21. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
2x + 6 |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 − |
3x − 4x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим производную подкоренного выражения в числителе:
(2 − 3x − 4x2 )′ = −8x − 3 .
I = ∫ |
|
|
|
|
|
2x + 6 |
|
|
|
|
dx = 2∫ |
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
dx = |
2 |
1 |
∫−8x − 3 + 3 − 242 |
dx = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 − 3x − 4x |
2 |
|
|
|
2 − 3x − 4x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
2 − 3x − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 ∫ |
|
−8x − 3 − 21 |
|
dx = − 1 ∫ |
|
|
|
|
|
−8x − 3 |
|
|
|
dx + 21 |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 − 3x − 4x |
2 |
|
2 − 3x − 4x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
2 − 3x − 4x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получили сумму двух интегралов. В |
|
|
первом интеграле |
сделаем |
|
|
|
|
замену: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t = 2 − 3x − 4x2 ; |
|
dt = (−8x − 3)dx , |
во |
втором |
|
|
интеграле |
выделим |
|
|
|
|
|
полный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрат в знаменателе (см.пример 1.18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I = − |
1 |
∫ |
dt |
|
+ |
21∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
|
|
|
+ 21∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
3 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21arcsin |
x |
+ |
3 |
+ C = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 21arcsin |
8x + 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
8 |
|
|
|
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 − 3x − 4x2 |
|
|
|
2 − 3x − 4x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
41 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. Интегрирование по частям
Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции. Как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по формуле d(uv)= udv + vdu .
20
Откуда ∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu . Учитывая, что ∫d(uv)= uv + C , получим
uv = ∫udv + ∫vdu
или
∫udu = uv − ∫vdu |
(1.12) |
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.
Применим, например, формулу (1.12) к функциям u(x)= x и v(x)= ex :
∫x d(ex )= x ex − ∫ex d(x).
Так как d(ex )= ex dx , а d(x)= dx , то получили равенство, в котором интеграл, стоящий в правой части, табличный:
∫xex dx = x ex − ∫ex dx = xex − ex + C .
Формула интегрирования по частям позволила выразить интеграл, в котором присутствовали степенная и показательная функции, через интеграл, в котором одна из этих функций (степенная) исчезла, являющийся табличным. Это произошло потому, что у некоторых функций производная «лучше», чем сама функция, например у степенной функции с целым показателем,
(xn )′ = nxn−1 , у логарифмической |
функции, |
loga x = |
1 |
|
, у |
обратных |
|||
x ln a |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
′ |
|
|
|||
тригонометрических |
функций, |
например |
(arctgx) = |
|
. |
Если |
|||
|
1 + x2 |
подынтегральная функция содержит множителем одну из перечисленных функций и нельзя избавиться от этой функции, заменяя ее новой переменной, то применяют формулу интегрирования по частям, в которой в качестве u(x)
берут эту «неудобную» функцию.
Формула интегрирования по частям всегда применяется для интегралов
∫xk sin axdx , |
∫xk cosaxdx , |
∫xk eax dx, |
∫xk ln xdx, |
∫xk arctgaxdx, |
∫xk arcsin axdx , (k N, |
a R). |
Рассмотрим подробнее применение формулы (1.12). Пример 1.22. Вычислить интеграл ∫xsin 2xdx .
Применим формулу (1.12). Обозначим u = x , dv = sin 2xdx.
Если ввести обозначение u и dv , то для применения формулы (1.12) остается по выбранной функции u найти ее дифференциал du = u′ dx, а по заданному дифференциалу dv неизвестной функции v найти эту функцию. Очевидно,
∫dv = v + C , поэтому в качестве v можно взять любую из функций, найденных при интегрировании, взяв конкретное значение постоянной С. В
21