- •С.А. Баркалов, с.И. Моисеев, в.Л. Порядина Математические методы и модели в управлении и их реализация в ms excel
- •080200 «Менеджмент»,
- •081100 «Государственное и муниципальное управление»,
- •220100 «Системный анализ и управление»
- •Рецензенты:
- •Глава 1. Экономико-математическое моделирование и его этапы 8
- •Глава 2. Методы оптимизации 15
- •Глава 3. Статистика и эконометрика 40
- •Глава 4. Методы принятия управленческих решений 105
- •Глава 5. Экономико-финансовые расчеты 149
- •Глава 6. Случайные процессы и теория массового обслуживания 221
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Экономико-математическое моделирование и его этапы
- •Глава 2. Методы оптимизации
- •2.1. Методы оптимального программирования
- •2.2. Анализ задачи определения оптимального ассортимента с помощью теории двойственности
- •2.3. Задача о назначениях
- •2.4. Решение задач многокритериальной оптимизации
- •2.5. Задания для самостоятельного решения
- •Глава 3. Статистика и эконометрика
- •3.1. Предварительная обработка опытных данных
- •3.2. Точечное и интервальное оценивание
- •3.3. Проверка статистических гипотез
- •3.4. Парная регрессия и корреляция
- •3.5. Множественная регрессия и корреляция
- •3.6. Временные ряды
- •3.7. Элементы дисперсионного анализа
- •3.8. Задания для самостоятельного решения
- •Задание № 6. Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев (табл. 3.8.6).
- •Глава 4. Методы принятия управленческих решений
- •4.1. Основные понятия теории принятия решений
- •4.2. Принятие решений в условиях полной определенности
- •4.3. Экспертное оценивание методом аналитической иерархии
- •4.4. Принятие решений в условиях риска
- •4.5. Принятие решений в условиях неопределенности
- •4.6. Принятие решений в условиях конфликта
- •4.7. Задания для самостоятельного решения
- •Задание №2. Гражданин а. Собирается выполнить определенную работу, срок выполнения которой устанавливается в две, в крайнем случае - в три недели. При этом существуют следующие варианты оплаты труда:
- •Глава 5. Экономико-финансовые расчеты
- •5.1. Простые проценты
- •5.2. Сложные проценты
- •5.3. Потоки платежей и ренты
- •5.4. Кредитные расчеты
- •Рассчитывается коэффициент наращения s по формуле
- •5.5. Оценка эффективности финансовых операций
- •5.6. Задания для самостоятельного решения
- •Глава 6. Случайные процессы и теория массового обслуживания
- •6.1. Основы теории случайных процессов
- •6.2. Элементы теории массового обслуживания
- •6.3. Задания для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Библиографический список рекомендуемой литературы
- •Глава 2
- •Основной
- •Дополнительный
- •Глава 3 Основной
- •Дополнительный
- •Глава 4 Основной
- •Дополнительный
- •Глава 5 Основной
- •Дополнительный
- •Глава 6 Основной
- •Дополнительный
- •ПриложенИе
- •Форматы и назначение финансовых функций excel, используемых для решения следующих задач:
- •Аргументы финансовых функций Excel анализа инвестиций
- •080200 «Менеджмент»,
- •081100 «Государственное и муниципальное управление»,
- •220100 «Системный анализ и управление»
- •3 94006 Воронеж ул. 20-летия Октября, 84
Глава 5. Экономико-финансовые расчеты
При заключении внутренних и внешних финансово-экономических сделок договаривающиеся стороны оговаривают определенные условия, изменения которых сопряжены с выгодой для одной стороны и убытками для другой стороны. Учитывая данное обстоятельство, обе стороны заинтересованы в объективной и грамотной количественной оценке условий сделки, которая производится на основе финансовых вычислений.
В финансовом или кредитном соглашении обе стороны — кредитор и заемщик — оговаривают ряд условий:
- размер займа или кредита;
- размер процентной ставки — отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;
- период начисления (срок займа) — интервал времени, к которому относится процентная ставка, он может разбиваться на интервалы начисления;
- интервал начисления — минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Учет фактора времени обусловлен неравноценностью денег, относящихся к различным моментам времени. Равные по абсолютной величине денежные суммы «сегодня» и «завтра» оцениваются по-разному — сегодняшние деньги ценнее будущих.
Зависимость ценности денег от времени объясняется тремя причинами:
во-первых, деньги могут эффективно использоваться как финансовый актив, приносящий доход, то есть их можно инвестировать, и тогда они будут приносить доход. Но все равно стоимость рубля сегодня больше, чем рубль, полученный завтра в виде процентного дохода, приобретенного на сберегательном счете или от инвестиционной операции;
во-вторых, инфляционные процессы обесценивают деньги во времени, то есть сегодня на рубль можно купить товара больше чем завтра, поскольку цены на товар повысятся;
в-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышают ценность имеющихся денег. Имея рубль, его уже можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра — еще вопрос.
В дальнейшем операции наращения и дисконтирования будут рассмотрены подробнее.
5.1. Простые проценты
Рассмотрим основные понятия, используемые в финансовых операциях.
Проценты (процентные деньги) I — абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в виде:
выдачи денежной ссуды;
продажи в кредит;
помещения денег на сберегательный счет;
учета векселя и т. д.
Различают два способа начисления процентов:
путем выплаты процентов кредитору по мере их начисления;
путем присоединения процентов к сумме долга.
Наращение первоначальной суммы S — процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга.
В зависимости от условий контрактов по отношению к первоначальной сумме существуют два способа начисления процентных ставок:
- простые ставки процентов применяются к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды;
- сложные ставки процентов применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.
Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть двух видов:
постоянные — не изменяются с течением времени;
переменные («плавающие») — значение ставки может быть равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи).
Наращение по простым процентам.
Наращенная сумма ссуды (долга, депозита, др. видов средств) — первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Введем обозначения:
Р — первоначальная сумма денег, ден. ед.,
i — ставка простых процентов, % или доли. В расчетных формулах обычно используются доли.
С учетом введенных обозначений проценты, начисленные за один период, будут равны P i, а за n периодов соответственно Р n i, тогда можно записать:
I = P n i, (5.1.1)
Изменение суммы долга в течение n периодов с начисленными простыми процентами описывается формулой
S = P (1+ ni ), (5.1.2)
которую называют формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.
Наращенную сумму S можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Р и суммы процентов I:
S = P + I . (5.1.3)
ПРИМЕР 5.1.1. Ссуда в размере 100 000 р. выдана на срок 1,5 года при ставке простых процентов равной 15 % годовых. Определить проценты и сумму накопленного долга при единовременном погашении ссуды по истечении срока.
Известны: Р = 100 000 р., n = 1,5 года, i = 0,15 или 15 % .
Найти I, S.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Для расчета процентов воспользуемся формулой (5.1.1): I = Р n i = 100 000 ·1,5 0,15 = 22 500 р. — проценты за пользование ссудой в течение 1,5 лет.
По формуле (4.2) находим сумму накопленного долга:
S = P (1+ ni )= 100 000 (1+1,5 · 0,15) = 122 500 р.
Другой способ расчета наращенной суммы, — по формуле (5.1.3):
S = P + I = 100 000 + 22 500 =122 500 р. — сумма накопленного долга по истечении 1,5 лет.
2-й вариант. Расчетные формулы и результаты вычисления в среде Ecel представлены на рис. 5.1.1.
а) б)
Рис. 5.1.1
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год. При продолжительности ссуды менее года, когда необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору, срок ссуды п выражается в виде дроби:
n = t / K , (5.1.4)
где п — срок ссуды (измеренный в долях года); К — число дней в году (временная база); t — срок операции (срок пользования ссудой) в днях.
В зависимости от того, какое количество дней в году берется за базу, различают два вида процентов:
- обыкновенный процент (коммерческий), когда в году принимается 360 дней, т. е. 12 месяцев по 30 дней;
- точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.
В зависимости от числа дней пользования ссудой различают два способа начисления процентов:
- точный способ — вычисляется фактическое число дней между двумя датами;
- приближенный способ — продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, когда все месяцы содержат по 30 дней.
Следует помнить, что в обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.
С учетом этого на практике могут применяться три варианта расчета процентов:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика);
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика);
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика).
ПРИМЕР 5.1.2. Ссуда размером 100 000 руб. выдана на срок с 21 января 2011 г. до 3 марта 2011 г. при ставке простых процентов, равной 15 % годовых. Найти:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Известны: Р = 100 000 руб., Tнач = 21 января 2011 года, Tкон = 03 марта 2011 года, i = 0,15 или 15 %. Найти I1 , I2, I3.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Для вычисления процентов воспользуемся формулой (5.1.1) с учетом формулы (5.1.4):
I = P n i = P ( t / K ) i.
Предварительно по табл. 1 (прил. 1) либо по календарю рассчитаем точное число дней между двумя датами: t = 62 – 21 = 41 день, тогда получим
1) К= 365, t = 41, I1 = 100 000 (41 / 365) 0,15 = 1 684,93 руб.;
2) К= 360, t = 41, I2 = 100 000 (41 / 360) 0,15 = 1 708,33 руб.
Приближенное число дней составит 42 дня (январь 9 дней + февраль 30 дней + март 3 дня), тогда начисленные проценты будут равны
3) К= 360, t = 42, I3 = 100 000 (42 / 360) 0,15 = 1 750,00 руб.
Следует обратить внимание на то, что для каждого случая получили свой результат.
2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся функцией ДОЛЯГОДА (находится в категории Дата и время). Данная функция возвращает долю года, которую составляет количество дней между двумя датами (начальной и конечной).
Если функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ?, то необходимо подключить надстройку «Пакет анализа» (для Excel 97—2003: меню Сервис => команда Надстройки => Пакет анализа => выбор подтвердить нажатием кнопки OK; для Excel 2007, 2010: меню Главная (правая клавиша мышки) => Настройка панели быстрого доступа…=>Параметры Excel => Надстройки => Перейти => Пакет анализа).
Синтаксис функции ДОЛЯГОДА(нач_дата; кон_дата; базис) и ее аргументы:
нач_дата — начальная дата,
кон_дата — конечная дата,
базис — используемый способ вычисления дня. Возможные значения базиса при различных способах вычисления приведены в табл. 5.1.1.
таблица 5.1.1
Значения базиса для функции ДОЛЯГОДА
Базис |
Способ вычисления дня |
0 или опущен |
Американский (NASD) 30/360 |
1 |
Фактический/фактический |
2 |
Фактический/360 |
3 |
Фактический/365 |
4 |
Европейский 30/360 |
Если базис < 0 или базис > 4, то функция ДОЛЯГОДА возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Результаты вычисления по формулам в среде Excel (расчетные формулы) приведены на рис. 5.1.2.
Рис. 5.1.2
Числовой формат ячеек B4 и B5 задается с учетом выбора одного из возможных типов представления дат, приведенных в диалоговом окне Формат ячеек, на рис. 5.1.3.
Рис. 5.1.3
В кредитных соглашениях могут предусматриваться процентные ставки, дискретно изменяющиеся во времени. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:
S = Р(1+ n1 i 1+ n2 i2+... ) = Р(1+ ∑nt it ) , (5.1.5)
где Р — первоначальная сумма (ссуда), it — ставка простых процентов в периоде с номером t; nt — продолжительность периода начисления t по ставке it.
ПРИМЕР 5.1.3. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 16 % годовых, причем в каждом последующем квартале она на 1 % меньше, чем в предыдущем. Определить множитель наращения за весь срок договора.
Известны: n1 = 0,25; i1 = 0,16 ; n2 = 0,25; i2 = 0,15 ;
n3 = 0,25; i3 = 0,14 ; n4 = 0,25; i4 = 0,13.
Найти (1+∑ntit )
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Вычисление множителя наращения производим по формуле (5.1.5):
(1+∑ntit) = 1+0,250,16+0,250,15+0,250,14+0,250,13=1,145.
2-й вариант. Вычисления в Excel, выполненные по формуле (4.5) с использованием математической функции СУММПРОИЗВ, приведены на рис.5.1.4.
Рис. 5.1.4
В ячейку Н5 введена формула «=1+СУММПРОИЗВ(B3:B6;D3:D6) »
В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р.
Расчет Р по S называется дисконтированием суммы S. Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S .
Дисконт (скидка) D — проценты, полученные в виде разности
D = S – P. (5.1.6)
В финансовых вычислениях используют два вида дисконтирования:
- математическое дисконтирование;
- банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма S=P(1+ni), то в обратной — находится:
P = S / (1 + ni ) . (5.1.7)
Здесь дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.
ПРИМЕР 5.1.4. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 р. Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обыкновенные). Рассчитать первоначальную сумму и дисконт.
Известно: S = 1 000 000 р., n = t/K = 90/360 , i = 0,20 или 20 %.
Найти P.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. Последовательно воспользуемся формулами (5.1.7) и (5.1.6):
Р=S / (1 + ni ) = 1 000 000 / (1+0,2090/360) = 952 380,95 р.,
D=S – Р = 1 000 000 – 952 380,95 =47 619,05 р.
2-й вариант. Вычисления в Excel (рис. 5.1.5) выполнены по формулам (5.1.6) и (5.1.7).
Рис. 5.1.5
Банковский или коммерческий учет (учет векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т. е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.
Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которая обозначается символом d. По определению, простая годовая учетная ставка находится по формуле
. (5.1.8)
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D = Snd, (5.1.9)
тогда векселедержатель получит сумму, равную
P = S – D = S – Snd = S(1 – nd) = S(1 – (t/K) d ) . (5.1.10)
Множитель (1 – nd) называется дисконтным множителем. Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.
ПРИМЕР 5.1.5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1 000 000 рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20 % годовых (год равен 360 дням). Определить дисконт D и полученную предприятием сумму P.
Известно: S = 1 000 000 руб., n = 90 дней , d = 0,20 или 20 % .
Найти D, P.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Для вычисления дисконта воспользуемся формулой (5.1.9)
D = Snd = 1 000 000 (90/360) 0,2 = 50 000 руб.
По формуле (5.1.10) рассчитаем сумму, которую предприятие получит в результате учета векселя:
P = S – D = 1 000 000 – 50 000 = 950 000 руб.
2-й вариант. Вычисления в Excel выполнены по формулам (5.1.9) и (5.1.10) (рис. 5.1.6).
Рис. 5.1.6